2024学年第一学期高二年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．−−=1.直线3xy310的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（）83A.B.43πC.πD.83π4√333π3.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.在四面体OABC中，记OA=a，OB=b，OC=c，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则MN=（）111111A.abc++B.−++abc222222111111C.abc−+D.abc+−22222225.直线xy++=20分别与x轴，y轴交于AB,两点，点P在圆(xy−22)+=2上，则ABP面积的取第1页/共5页学科网（北京）股份有限公司值范围是（）A.[2,6]B.[4,8]C.2,32D.22,326.已知圆Cx:22+−=y20x，直线lx:+y+=10，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当PC·AB最小时，直线AB的方程为（）A.xy+=0B.xy−=0C.2xy−2+=10D.2xy+2+=107.设函数f(x)=(x2++axb)lnx，若fx()≥0，则a的最小值为（）A.−2B.−1C.2D.18.已知三棱锥A−BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠=°BAC90，AD=2，若球O的表面积为29π，则三棱锥A−BCD的侧面积的最大值为255412725A.52+B.52+C.63+D.102+4422二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．29.已知圆Cx:2(+)+=y24，直线lm:(+1)x+21y−+m=0(m∈R)，则（）A.直线l恒过定点(−1,1)B.直线l与圆C有两个交点C.当m=1时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1D.圆C与圆xy22+−2xy+8+=80恰有三条公切线10.定义在R上的偶函数fx()，满足fx(+−21)fx()=f()，则（）A.f(10)=B.f(1−+xf)(10+=x)20C.f(12+=−xf)(12x)D.∑fi()=10i=111.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆OObc,的劣弧AC,AB的弧长分别记为bc,，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，abc==，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O−ABC．设第2页/共5页学科网（北京）股份有限公司∠=∠=∠=BOCαβ,,AOCAOBγ，则下列结论正确的是（）3A.若平面ABC是面积为R2的等边三角形，则abcR===4B.若abc22+=2，则αβγ222+=π2C.若abc===R，则球面O−ABC的体积VR>3312πD.若平面ABC为直角三角形，且∠=ACB，则abc22+=22三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．若圆：22与圆22有且仅有一条公切线，=12.Cx1(−21)+=yCx2:+y+46x+ym+=0m______.π13.已知函数yx=2sin(ω+ϕω)>0,0≤≤ϕ的图象经过点(0,2)，且在y轴右侧的第一个零点为2π，当x∈[0,2π]时，曲线yx=sin与yx=2sin(ωϕ+)的交点有__________个，414.如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=2，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AKt，则t的取值范围是_______.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，发现得分均在区间[30,90]内.现将100个样本数据按[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.第3页/共5页学科网（北京）股份有限公司（1）请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；（2）学校决定表彰成绩排名前30％的学生，学生甲的成绩是76，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由.16.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(1,1)，动点P满足PA=2PO（1）求动点P的轨迹C的方程（2）若直线l过点Q(1,2)且与轨迹C相切，求直线l的方程.ba−2x517.已知函数fx()=−x（a>0且a≠1b∈R）是定义在R上的奇函数，且f(1)=−；ax2（1）求a，b的值；（2）解不等式f(1−x2)+fx(570−<)．18.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线BD和BF上移动，且BM和BN的长度保持相等，记BM=BN=a(02<数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC的三个内角均第4页/共5页学科网（北京）股份有限公司小于120°时，使得∠=∠=∠=°APBBPCCPA120的点P即为费马点；当ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.tanACtan（1）若cos(AC−+)cosB=.tanACtan−1①求B；②若ABC的面积为3，设点P为ABC的费马点，求PA⋅PC的取值范围；（2）若ABC内一点P满足∠=∠=∠=PABPBCPCAθ，且PB平分∠ABC，试问是否存在常实数t，使得b2=tac，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由.第5页/共5页学科网（北京）股份有限公司2024学年第一学期高二年级10月四校联考数学学科试题卷命题人：浦江中学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．−−=1.直线3xy310的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A【解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角．3【详解】因为该直线的斜率为，3所以它的倾斜角为30°．故选：A．2.若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（）83A.B.43πC.πD.83π4√333π【答案】C【解析】【分析】利用圆锥表面积公式求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得.【详解】圆锥底面圆半径r，母线l，高h，由圆锥的表面积为12π，得+=12，而r=2，解得l=4，2