茂名区域高三１０月份联考数学参考答案１．Ｃ 狕＝－槡２ｉ（１＋槡２ｉ）＝２－槡２ｉ，所以狕的虚部为－槡２．犪＋１＝３，２．Ｄ 因为犕＝｛犪＋１，犪－１｝，所以解得犪＝２．｛犪－１＝１，７－１３．Ａ 当犛＝７，狀＝ｅ３时，水的质量为＝２．ｌｎｅ３ｓｉｎ狓４．Ｄ 当狓＜０时，槡狓２＝｜狓｜＝－狓，所以狆是假命题，瓙狆是真命题．因为ｔａｎ狓＝＝ｃｏｓ狓ｓｉｎ狓，所以ｃｏｓ狓＝１或ｓｉｎ狓＝０，当狓∈（０，π）时，ｃｏｓ狓≠１，ｓｉｎ狓≠０，所以狇是假命题，瓙狇是真命题．→１→１→１→１→１→１→１１５．Ｂ 犃犇＝犃犅＋犃犆＝犃犗＋犗犅＋犃犗＋犗犆＝－犪＋犫＋犮．２２２２２２２２１犳（狓）６．Ｄ 依题意可得犳（０）＝０，犳（狓）在（－∞，０）上单调递增，且犳－＝０．由≤０，得（３）狓２－２犳（狓）≤０，犳（狓）≥０，１１或则狓∈（－∞，－２）∪－，０∪，２．２２槡［］［槡）｛狓－２＞０｛狓－２＜０，３３犃＋犫＝３，犃＝２，１７．Ｄ 因为犃＞０，所以解得所以犳（０）＝２ｓｉｎφ＋１＝２，则ｓｉｎφ＝．因｛－犃＋犫＝－１，｛犫＝１，２ππππωππ为｜｜＜，所以＝，可得犳（狓）＝２ｓｉｎω狓＋＋１．因为犳＝２ｓｉｎ＋＋１＝φ２φ６（６）（１８）（１８６）ωπππ３，所以＋＝＋２犽π，犽∈犣，即ω＝６＋３６犽，犽∈犣．因为０＜ω＜１０，所以ω＝６．１８６２１ｅ８．Ａ 依题意可设犘犿，ｅ犿，犙犿，－，其中犿＞０．（２）（２犿）１狓１狓ｅｅ１犿ｅ′＝ｅ，－′＝，则曲线犆１在点犘处的切线斜率为ｅ，曲线犆２在点犙处（２）２（２狓）２狓２２ｅ１ｅ的切线斜率为，所以ｅ犿＝，即犿２ｅ犿＝ｅ（犿＞０）．设函数犳（狓）＝狓２ｅ狓（狓＞０），则２犿２２２犿２ｅ犳′（狓）＝（狓２＋２狓）ｅ狓＞０，所以犳（狓）为增函数，又犳（１）＝ｅ，所以犿＝１，所以犘１，，（２）ｅ犙１，－，故｜犘犙｜＝ｅ．（２）９．ＡＣＤ 由｜２犪－犫｜＝｜２犪＋犫｜，得４犪２＋犫２－４犪·犫＝４犪２＋犫２＋４犪·犫，解得犪·犫＝０，即犪⊥犫，反之亦成立，故“｜２犪－犫｜＝｜２犪＋犫｜”是“犪⊥犫”的充要条件．若｜２犪－犫｜＝１，则４犪２＋犫２犪·犫－４犪·犫＝１，解得犪·犫＝１，则ｃｏｓ〈犪，犫〉＝＝１，所以〈犪，犫〉＝０，即犪∥犫，若犪∥犫，则｜犪｜｜犫｜【高三数学·参考答案 第 １页（共５页）】·２５－７２犆·书犪·犫＝１或－１，所以｜２犪－犫｜＝１或３，故“｜２犪－犫｜＝１”是“犪∥犫”的充分不必要条件．１０．ＡＢＤ 犳′（狓）＝２狓（狓－６）＋狓２＝３狓（狓－４），当狓∈（０，４）时，犳′（狓）＜０，当狓∈（－∞，０）∪（４，＋∞）时，犳′（狓）＞０，所以犳（狓）在（－∞，０）和（４，＋∞）上单调递增，在（０，４）上单调递减，故狓＝４是犳（狓）的极小值点，Ａ正确．犳（狓）＋犳（－狓）＝狓２（狓－６）＋狓２（－狓－６）＝－１２狓２≤０，Ｂ正确．当０＜狓＜１时，０＜狓２＜狓＜１，又犳（狓）在（０，１）上单调递减，所以犳（狓）＜犳（狓２），Ｃ错误．当０＜狓＜１时，犳（４＋狓）－犳（４－狓）＝（４＋狓）２（４＋狓－６）－（４－狓）２（４－狓－６）＝２狓３＞０，所以犳（４＋狓）＞犳（４－狓），Ｄ正确．１２９１１１．ＢＣ 犳（狓）＝｜ｓｉｎ２狓｜＋１－２｜ｓｉｎ２狓｜２＝－２｜ｓｉｎ２狓｜－＋，当｜ｓｉｎ２狓｜＝时，（４）８４９犳（狓）取得最大值，且最大值为，Ａ错误．因为狔＝｜ｓｉｎ２狓｜，狔＝ｃｏｓ４狓的最小正周期均为８ππ犽π犽π犽π，所以犳（狓）的最小正周期为，Ｂ正确．因为犳－狓＝ｓｉｎ２－狓＋ｃｏｓ４－２２（２）（２）（２犽π狓＝｜ｓｉｎ２狓｜＋ｃｏｓ４狓（犽∈犣），所以曲线狔＝犳（狓）关于直线狓＝（犽∈犣）轴对称，Ｃ正确．）４１７１槡２令犵（狓）＝１６犳（狓）－１７＝０，得犳（狓）＝，则｜ｓｉｎ２狓｜＝±，结合函数狔＝｜ｓｉｎ２狓｜（０≤１６４８１槡２狓≤π）的图象（图略），可知方程｜ｓｉｎ２狓｜＝±在［０，π］上有８个不同的实根，Ｄ错误．４８槡３－１３３３πππ槡３１２．－ 犳（－１）＝２＋１＝，犳（犳（－１））＝犳＝ｓｉｎ＋＝－ｃｏｓ＝－．２２（２）（２６）６２２槡２１３．２槡２ ｌｇ犪＋ｌｏｇ犪１００＝ｌｇ犪＋≥２槡２，当且仅当犪＝１０时，等号成立．ｌｇ犪３１槡５１４．－ 因为２ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓＝槡５ｓｉｎ（狓＋）＝１ｔａｎ＝，所以ｓｉｎ（狓＋）＝．５φ（φ２）φ５槡５槡５由题意可得ｓｉｎ（α＋）＝，ｓｉｎ（＋）＝．φ５βφ５因为α≠β，α∈［０，２π），β∈［０，２π），所以α＋φ＋β＋φ＝π，即α－β＝π－２（β＋φ）．３ｃｏｓ（α－）＝ｃｏｓ［π－２（＋）］＝－ｃｏｓ２（＋）＝２ｓｉｎ２（＋）－１＝－．ββφβφβφ５犪２＋犫２－犮２１１５．解：（１）因为犪２＋犫２＝犪犫＋犮２，所以ｃｏｓ犆＝＝，……………………………４分２犪犫２π因为犆∈（０，π），所以犆＝．………………………………………………………………５分３（２）因为犫犮ｓｉｎ犃＝ｓｉｎ犆，所以犪犫犮＝犮，……………………………………………………７分所以犪犫＝１．…………………………………………………………………………………８分由犪２＋犫２＝犪犫＋犮２，得犮２＝犪２＋犫２－犪犫≥２犪犫－犪犫＝犪犫＝１，则犮≥１，…………………１０分当且仅当犪＝犫＝１时，等号成立．…………………………………………………………１１分【高三数学·参考答案 第 ２页（共５页）】·２５－７２犆·犮１２１设△犃犅犆外接圆的半径为犚，则２犚＝≥＝，则犚≥，ｓｉｎ犆πｓｉｎ槡３槡３３π所以△犃犅犆外接圆的面积的最小值为．………………………………………………１３分３１６．解：（１）因为｜犘犉１｜＝槡７＋１，｜犘犉２｜＝槡７－１，犘犉１⊥犘犉２，所以｜犉１犉２｜＝２２槡｜犘犉１｜＋｜犘犉２｜＝４，记犉１（－犮，０），犉２（犮，０），则犮＝２．…………………………………………………………２分２２２由椭圆的定义可得，２犪＝｜犘犉１｜＋｜犘犉２｜＝２７槡，犪＝槡７，犫＝犪－犮＝３．……………５分２２２由双曲线的定义可得，２犿＝｜犘犉１｜－｜犘犉２｜＝２，犿＝１，狀＝犮－犿＝３．……………８分２２２狓狔２狔所以犆１的方程为＋＝１，犆２的方程为狓－＝１．………………………………９分７３３（２）由题意得犃（０，槡３），犅（－１，０），则直线犃犅的方程为狔＝槡３狓＋槡３．设犇（狓１，狔１）．……………………………………………………………………………………………１１分烄狔＝槡３狓＋槡３，２７联立２２得，所以…………………………………分烅狓狔４狓＋７狓＝０狓１＝－．１３＋＝１，４烆７３２７７｜犃犇｜＝槡１＋犽｜狓１－狓犃｜＝槡１＋３×－－０＝．………………………………１５分４２１７．（１）证明：因为四边形犃犅犆犇为菱形，所以犅犆∥犃犇，又犃犇平面犃１犃犇犇１，犅犆平面犃１犃犇犇１，所以犅犆∥平面犃１犃犇犇１．…………………………………………………………………２分又犅犅１∥犃犃１，犃犃１平面犃１犃犇犇１，犅犅１平面犃１犃犇犇１，所以犅犅１∥平面犃犃１犇犇１．………………………………………………………………………………………………３分因为犅犅１∩犅犆＝犅，所以平面犅犆犆１犅１∥平面犃１犃犇犇１．………………………………４分因为平面犃１犅１犆１犇１∩平面犅犆犆１犅１＝犅１犆１，平面犃１犅１犆１犇１∩平面犃１犃犇犇１＝犃１犇１，所以犅１犆１∥犃１犇１，…………………………………………………………………………５分同理可得犃１犅１∥犆１犇１，所以四边形犃１犅１犆１犇１为平行四边形．………………………６分→→（２）解：由题意得犅犇＝２，犃犆＝２槡３．以菱形犃犅犆犇的中心犗为坐标原点，犗犅，犗犆的方向分别为狓，狔轴的正方向，建立空间直角坐标系犗狓狔狕，如图所示．设犃犃１＝犺，则犃１（０，－槡３，犺），犅１（１，０，２），犆１（０，槡３，犺），犇１（－１，０，５）．………………………………………８分→→因为四边形犃１犅１犆１犇１为平行四边形，所以犃１犅１＝犇１犆１，７则（１，槡３，２－犺）＝（１，槡３，犺－５），所以２－犺＝犺－５，得犺＝，………９分２→３→３所以犃１犅１＝１，槡３，－，犃１犇１＝－１，槡３，．…………………１０分（２）（２）设平面犃１犅１犆１犇１的法向量为狀１＝（狓，狔，狕），【高三数学·参考答案 第 ３页（共５页）】·２５－７２犆·→→则犃１犅１·狀１＝０，犃１犇１·狀１＝０，烄３狓＋槡３狔－狕＝０，２即烅…………………………………………………………………１１分３－狓＋槡３狔＋狕＝０，烆２令狕＝２，得狀１＝（３，０，２）．…………………………………………………………………１２分易知平面犃犅犆犇的一个法向量为狀２＝（０，０，１），………………………………………１３分狀１·狀２２２槡１３则ｃｏｓ〈狀１，狀２〉＝＝＝，…………………………………………１４分｜狀１｜｜狀２｜槡１３×１１３３槡１３所以平面犃１犅１犆１犇１与平面犃犅犆犇所成二面角的正弦值为．…………………１５分１３１８．解：（１）第１次换球后甲口袋有２个黑球，即从甲口袋取出的球为白球且从乙口袋取出的球２１２为黑球，则狆１＝×＝．………………………………………………………………１分３３９第１次换球后甲口袋有１个黑球，即从甲、乙口袋取出的球同为白球或同为黑球，２２１１５则狇１＝×＋×＝．………………………………………………………………３分３３３３９（２）若第２次换球后甲口袋有２个黑球，则分２种情况：①当第１次换球后甲口袋有１个黑球时，第２次甲口袋取白球且乙口袋取黑球；②当第１次换球后甲口袋有２个黑球时，第２次甲、乙口袋同取白球．２１１５２２１１６所以狆２＝狇１××＋狆１×＝×＋×＝．………………………………５分３３３９９９３８１若第２次换球后甲口袋有１个黑球，则分３种情况：①当第１次换球后甲口袋有０个黑球时，第２次甲口袋取白球且乙口袋取黑球；②当第１次换球后甲口袋有１个黑球时，第２次甲、乙口袋同取白球或同取黑球；③当第１次换球后甲口袋有２个黑球时，第２次甲口袋取黑球且乙口袋取白球．２２２１１２４９所以狇２＝（１－狇１－狆１）×＋狇１××＋×＋狆１×＝．…………………７分３（３３３３）３８１（３）第狀次换球后，甲口袋黑球的个数为１的情况：①若第狀－１次换球后甲口袋有２个黑球，则第狀次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；②若第狀－１次换球后甲口袋有１个黑球，则第狀次甲、乙口袋同取黑球或同取白球；③若第狀－１次换球后甲口袋有０个黑球，则第狀次甲口袋取白球且乙口袋取黑球．２１１２２２２１所以狇狀＝狆狀－１×＋狇狀－１××＋×＋１－狆狀－１－狇狀－１×＝－狇狀－１，…３（３３３３）（）３３９…………………………………………………………………………………………１１分３１３即狇狀－＝－狇狀－１－．……………………………………………………………１３分５９（５）３２３２１又因为狇１－＝－，所以狇狀－是以－为首项，－为公比的等比数列，……１５分５４５｛５｝４５９【高三数学·参考答案 第 ４页（共５页）】·２５－７２犆·３２１狀－１３２１狀－１所以狇狀－＝－－，即狇狀＝－－．……………………………１７分５４５（９）５４５（９）１９．（１）证明：令函数犺（狓）＝狓－ｓｉｎ狓，则犺′（狓）＝１－ｃｏｓ狓＞０，π所以犺（狓）在０，上单调递增，犺（狓）＞犺（０）＝０，即狓＞ｓｉｎ狓．………………………２分（２）令函数犽（狓）＝ｓｉｎ狓－狓ｃｏｓ狓，则犽′（狓）＝ｃｏｓ狓－ｃｏｓ狓＋狓ｓｉｎ狓＝狓ｓｉｎ狓．ππ当狓∈０，时，犽′（狓）＞０，所以犽（狓）在０，上单调递增，犽（狓）＞犽（０）＝０，即ｓｉｎ狓＞（２）（２）狓ｃｏｓ狓．π故当狓∈０，时，狓＞ｓｉｎ狓＞狓ｃｏｓ狓．…………………………………………………５分（２）（２）解：令函数狌