江苏省如皋中学2024-2025学年度第一学期综合练习(一)数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，若，则（）A.B.C.D.2.函数的值域为（    ）A．B．C．D．3．3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（    ）A． B． C．24D．124．有两箱零件，第一箱内有件，其中有件次品；第二箱内有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取个零件，则取出的零件是次品的概率是（    ）A． B． C． D．5.已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（    ）A． B． C．2 D．6.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（    ）A． B． C． D．7.已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（    ）A．中位数不变 B．第35百分位数不变 C．平均数不变 D．方差不变8.已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，则（）A.0 B. C.1 D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（    ）.A．两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数就越接近于1B．某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675C．对于独立性检验，的观测值越大，推断“零假设”成立的把握越大D．以拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则，10.已知，则下列结论成立的是（    ）A． B．C． D．11.双纽线，也称伯努利双纽线．如图，双纽线经过原点，且上的点满足到点的距离与到点的距离之积为1，则（    ）A．直线与只有1个公共点B．圆与有4个公共点C．与轴的交点坐标为D．上的点到轴的距离的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在二项式的展开式中，常数项为.13.．2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为．14.已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，过点的直线交的左支于两点.（为坐标原点），记点到直线的距离为，则.四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某单位准备从8名报名者（其中男性5人，女性3人）中选4人参加4个副主任职位竞选．(1)求所选4人中女性人数为2人的概率；(2)若选出的4名副主任分配到，，，这4个科室上任，一个科室分配1名副主任，且每名副主任只能到一个科室，求科室任职的是女性的情况下，科室任职的是男性的概率．16.已知三棱锥满足，且．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值，17.科技创新赋能高质量发展，某公司研发新产品投入x（单位：百万）与该产品的收益y（单位：百万）的5组统计数据如表所示（其中m为后期整理数据时导致数据缺失），且由该5组数据用最小二乘法得到的回归直线方程为．x568912y16202528m(1)求m的值．(2)若将表中的点去掉，样本相关系数r是否改变？说明你的理由．参考公式：相关系数．18.已知函数．（1）判断函数的零点个数，并说明理由；（2）求曲线y=fx与y=gx的所有公切线方程.19.已知椭圆的长轴长为4，，为C的左、右焦点，点P（不在x轴上）在C上运动，且的最小值为.(1)求椭圆C的方程；(2)过的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，记的内切圆的半径为r，求r的取值范围.江苏省如皋中学2024-2025学年度第一学期综合练习(一)数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【详解】因为，所以，代入，可得，所以方程变为，可解得或3，所以，故选：C.2.B3．【答案】A【详解】不同的报名方法种数有.故选：A.4．【答案】C【详解】设事件表示从第箱中取一个零件，事件表示取出的零件是次品，则，即取出的零件是次品的概率为.故选：C.5.【答案】D【详解】连接，则.又，所以四边形为正方形，，于是点在以点为圆心，为半径的圆上.又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切，所以点到直线的距离，解得.故选：D.6.【答案】B【详解】如图正八面体，连接和交于点，因为，，所以，，又和为平面内相交直线，所以平面，所以为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为8×34AB2=123，所以正八面体的棱长为，所以EB=EC=BC=6,OB=OC=3,EO=EB2−OB2=3，则R=3,V=43πR3=43π×33=43π．故选：B．7.已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（    ）A．中位数不变 B．第35百分位数不变 C．平均数不变 D．方差不变【答案】D【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A选项正确；原数据中，，第35百分位数是第4个数据，去掉，后，，第35百分位数是新数据中的第3个，第35百分位数不变，B选项正确；原来的平均数为，去，掉后的平均数为，平均数不变，故C选项正确；原来的方差为，去掉后，的方差为，方差变小，故D选项错误.故选：D.8.【答案】D【详解】因为，令，则，则，再令，代入上式可得，所以，故选：D.9.【答案】BD10.【答案】AD【详解】设，原式为,令，,A正确；令，则，同乘得，，，故B错误令，则，故C错误两边同时求导得：，再令，,故D正确.故选：AD.11.【答案】ACD【详解】设曲线上的动点，则，化简得，令，解得或，因此双纽线与轴的交点坐标为，，C正确；由，解得，因此直线与只有1个公共点，A正确；由，解得或，因此圆与有2个公共点，B错误；由，得，则，令，则，因此，当且仅当时取等号，即上的点到轴的距离的最大值为，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在二项式的展开式中，常数项为.18013.【答案】10【详解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：种；安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：种，由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：种.故答案为：1014.【答案】【详解】令双曲线的半焦距为，由离心率为2，得，取的中点，连接，由，得，则，连接，由为的中点，得，，，因此，即，整理得，而，所以.故答案为：  15.【详解】（1），（2）设“科室任职的是女性”，“科室任职的是男性”，则，，所以．16.解,,,即：,取中点，连接，则，且平面,平面,平面【小问2详解】解法一：由（1）知，平面平面平面作，垂足为平面平面，且平面平面中记点到平面的距离为与平面所成角为，则由得：因此，解法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系由（1）可知中，设的法向量由得：取记与平面所成角为．则.17.参考公式：相关系数．【详解】（1）由题意可知，，，所以样本中心为，将点代入，可得，解得．（2）由（1）可得，样本中心为，所以，．由相关系公式知，，将点去掉后，样本相关系数r不变18.已知函数．（1）判断函数的零点个数，并说明理由；（2）求曲线y=fx与y=gx的所有公切线方程.解：函数的定义域为：，，单调递增又，存在唯一零点，在之间．【小问2详解】，以上的点为切点的切线方程为以上的点为切点的切线方程为：令则，得，即．设，函数，则．当时，单调递减，当时，单调递增，，的解为，又．和存在唯一一条公切线为．19.【详解】（1）由题意得，设，的长分别为m，n，，则在中，由余弦定理可得当且仅当时取等号，从而，得，∴，所以椭圆的标准方程为.（2）设，，由题意，根据椭圆的定义可得的周长为，，所以，设l的方程为，联立椭圆方程，整理可得，易知且，，，所以，令，则，，令函数，则在上单调递增，则，所以，即，故r的取值范围为.