丰城九中2024-2025学年高三上学期数学第一次段考试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1.依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（    ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为，解三角形求正六边形的周长，由可得结论.【详解】设圆的半径为，该圆的内接正边形的周长为，圆的直径为，则，如图连接圆心与正六边形的各顶点，由正六边形的性质可得，又，所以，所以，所以，又所以，当时，.故选：B.2.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的补集，并集运算求解即可.【详解】由题意可知，所以，所以，故选：D3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用幂函数、指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义即可得答案.【详解】是增函数，又，，又是增函数，则，故充分性成立；是增函数，，，又增函数，，故必要性成立.即“”是“”的充要条件.故选：.4.若函数在处有最小值，则常数、的值是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据已知，利用辅助公式、差角的正弦公式进行求解.【详解】由题意得：，其中，∵在处有最小值−2，∴，且，解得，令，得，∴，∴.故A，B，C错误.故选：D.5.已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.【详解】因为函数满足对任意实数，都有成立，不妨假设，则，可得，即，可知函数在R上递减，则，解得：，所以的取值范围是.故选：D.6.嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀､柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线（Catenary）.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（）A.为奇函数 B.的最大值是C.在上单调递增 D.方程有2个实数解【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最值，即可判断ABC；对D解出，再结合指数函数性质即可判断.【详解】对A，∵，则为偶函数，A错误；对BC，又∵，根据，在R上均单调递增，则在在R上单调递增，且，则当时，则，当时，则，∴的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误；则，即的最小值为，B错误；对D，法一：因为为偶函数，且最小值为，，并且根据C中的单调递减区间为，单调递增区间为，且时，，所以有2个实数解，故D正确.法二：令,，再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确.,故选：D7.已知，则的最小值为（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解即可.【详解】，，，，，，，，当且仅当，即，时等号成立.故选：A.8.已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（）A0 B.1 C.5 D.10【答案】B【解析】【分析】将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点问题，画出函数图象找交点个数即可.【详解】由题意，知4为函数的一个周期且函数的图象关于直线对称．当时，由函数的解析式，两出函数的大致图象如图所示．当时，函数的图象与函数的图象有且仅有一个交点；当时，总有．而函数在区间上单调递增且，，所以函数的图象与函数的图象在区间上没有交点．综上，函数在区间上的零点个数为1．故选：B．【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．二、多选题（每小题6分，共18分）9.已知函数的一个零点到一条对称轴的最小距离为，则下列说法中正确的是（）A.B.是函数的一条对称轴C.的对称中心为D.在的值域为【答案】ACD【解析】【分析】零点到一条对称轴的最小距离为四分之一个周期，据此求出,再由周期的计算公式求出，由此可知的表达式，进而可求的对称轴、对称中心，及时的值域.【详解】对于A,由题意得,则,所以,故正确;对于时,,故B错误;对于C,由,解得,所以函数的对称中心为，故正确;对于时,,所以当，即x=1时，,当，即时，,所以,故正确.故选:.10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.若是上增函数，则B.当时，函数有两个极值C.当时，函数有两零点D.当时，在点处的切线与只有唯一个公共点【答案】AB【解析】【分析】对A：借助导数，令导函数大于等于零恒成立即可得；对B：借助导数研究函数的单调性即可得；对C：举出反例即可得；对D：计算出在点处的切线方程后，联立，解出方程即可得.【详解】对A：，由是上的增函数，则有恒成立，即，解得，故A正确；对B：由，则当时，，故有两个不等实根，设这两个根分别为且，则当时，，当时，，即在上单调递增，在上单调递减，故函数有两个极值，故B正确；对C：令，对，有，若，则，此时有两个非零不等实根，即有三个零点，故C错误；对D：当时，，则，，由，则在点处的切线为，令，即有，解得或，故在点处的切线与有两个公共点，故D错误.故选：AB.11.已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则下列选项正确的是（）A.函数的图象关于对称 B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A．利用偶函数的性质，结合赋值法即可得解；B．利用赋值法即可得解；CD．利用抽象函数的奇偶性、对称性与周期性得到与的周期均为4，进而求得与，从而得解．【详解】A．为偶函数，，即有，则的图象关于对称，A正确，符合题意；B．，令，可得，又，，B正确，符合题意；C．，，，①，②，将①②式分别与联立，化简得：，，，，，，即与的周期均为4，，，，，又函数的图象关于对称，，，，C错误，不符合题意；D．又，，，，，，，D正确，符合题意．故选：ABD．三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式结合诱导公式求解即可.【详解】因为，所以，故，解得，而，故答案为：13.已知函数，若，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据函数的解析式及，可得，再代入，利用基本不等式求解好即可.【详解】解：因为，所以，所以，，又因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：【点睛】方法点睛：利用基本不等式时，注意三个条件缺一不可.14.已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】原不等式解集有且只有两个整数解等价于的解集中有且仅有两个正整数，利用导数讨论后者的单调性后可求参数的取值范围.【详解】设，则，而的定义域为，故为上的奇函数，（不恒为零），故为上的单调减函数，又即为：，也就是，故，故的解集中有且仅有两个正整数，若，则当时，，此时不等式的解集中有无数个正整数解，不合题意；若，因为，，故的解集中不会有1,2，其解集中的正整数解必定大于等于3，不妨设，则的解集中有且仅有两个正整数，设，，故在上为增函数，由题设可得，故，故答案为：.【点睛】思路点睛：不等式解集中的正整数解的个数问题，可通过参变分离转化水平的动直线与确定函数图像的位置关系来处理.四、解答题15.已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求的解析式；（2）求当时，函数的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答.（2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域..【小问1详解】由函数是上的奇函数，则有，解得，即，，，即，，解得，经验证得，时，是奇函数，所以.【小问2详解】由（1）知，，当时，，因此当时，，当时，，所以所求值域为.16.已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得.（2）根据在区间上的图象列不等式来求得的取值范围.【小问1详解】将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，所以.【小问2详解】因为，所以.，即在区间上有且只有两个实数解，于是函数与的图象在区间上有且只有两个交点，，，所以.画出在区间上的图象如下图所示，所以，所以.所以实数的取值范围是.17.丰义村位于海盐县通元镇，在村民共同努力下近年来先后获得“浙江省新时代美丽乡村精品村”和“全国乡村治理示范村”称号，完成了从传统自然村落到网红景区村的华丽变身．目前村里有一块三角形区域待开发使用，其中（单位：百米）．现规划于该区域中建造一座观景亭，始终满足．（1）求区域的最大面积；（2）当时，求的值；（3）若打算从观景亭出发铺设三条垂直到达区域边界的景观道，其中到达边界的景观道造价为1百元/米，到达边界的景观道造价为百元/米．目前村委会筹集到2万元项目资金，问：这部分资金能否保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工？【答案】（1）（百米）（2）（3）这部分资金可以保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工【解析】【分析】（1）根据锐角三角函数可得即可由三角函数的性质求解最值，（2）由余弦定理即可求解，（2）根据三角恒等变换得，即可由三角函数的最值求解.【小问1详解】记，则（百米）．当且仅当，即取等号，故最大值为【小问2详解】此时，在中，．【小问3详解】易得，记造价为万元，则，（时取到最大值）故这部分资金可以保障无论观景亭选址何处，工程均能顺利完工．18.已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有.（1）证明函数在上单调递增；（2）解不等式；（3）若对所有，，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）不等式的解集为（3）实数的取值范围【解析】【分析】（1）设且，再利用函数的奇偶性和已知的条件，结合单调性定义即可证得结论；（2）利用函数的单调性解不等式即可得解；（3）将已知变形为恒成立，设,对，恒成立，即,解不等式组求得的取值范围.【小问1详解】且，则，因为，，由已知可得，，所以，所以，所以函数在上单调递增；【小问2详解】因为，又在上为增函数，所以，解得，所以不等式的解集为；【小问3详解】由在上为增函数，所以，，所以对所有，，恒成立，等价于对任意恒成立，设，对，恒成立，所以，解得，所以或或，所以实数的取值范围.【点睛】方法点睛：二次函数的“轴动区间定”求参数范围问题，可转化为关于参数的一次函数问题，借用一次函数的图象和性质去分析问题更简便.19.若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；（2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点.①求的取值范围；②证明：.【答案】（1）是上的“双中值函数”，理由见解析（2）①0,+∞；②证明见解析【解析】【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可；（2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明.【小问1详解】函数是上的“双中值函数”．理由如下：因为，所以.因为，，所以令，得，即，解得.因为，所以是上的“双中值函数”.【小问2详解】①因为，所以.因为是上的“双中值函数”，所以.由题意可得.设，则.当时，，则为减函数，即为减函数；当时，，则为增函数，即为增函数.故.因为，所以，所以，即的取值范围为；②证明：不妨设，则，，即，．要证，即证．设，则．设，则，所以φx在0,1上单调递增，所以，所以，则在上单调递减．因为，所以，即．因为，所以．因为，所以．因为，所以．由①可知在上单调递增，所以，即得证．【点睛