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广东省深圳市福田区红岭中学2024-2025学年高三上学期第二次统一考试数学答案
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红岭中学(红岭教育集团)2025届高三第二次统一考试数学参考答案(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)1234567891011CABBDACCACACDABD1.C2.A【分析】利用同角三角函数的基本关系式,结合三角函数值的符号,化简所求表达式.【详解】依题意,原式①.由于,所以,故①可化为.故选:A.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查诱导公式,考查三角函数值在各个象限的符号,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.3.B【详解】设等差数列的公差为,则因为等差数列和的前项和分别为、,满足,,故选:B4.B【分析】讨论甲是否在第5名,根据排列组合公式计算即可.【详解】当甲是第5名时,共有种;当甲不是第5名时,共有种;综上,共有78种.故选:B5.D【分析】由图知函数为偶函数,应用排除,先判断B中函数的奇偶性,再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项,即得答案.【详解】由图知:函数图象关于y轴对称,其为偶函数,且,由且定义域为R,即B中函数为奇函数,排除;当时、,即A、C中上函数值为正,排除;故选:D6.A【分析】根据函数的解析式作出函数的图象,根据结合函数的对称性可得及的范围,从而求解的范围.【详解】作出函数的图象如图:  设,且,则函数与直线的三个交点从左到右依次为,,,则点与在函数上,而函数的图象关于直线对称,所以,由得,若满足,则,所以,所以,即的取值范围是.故选:A.C【解析】构造函数,得,,,.当时,,当时,,所以在上单调递减,上单调递增.易知,所以,所以.又,因为,所以,所以.所以.8.C9.AC【分析】利用等差,等比数列的定义和性质,以及等差,等比数列的前项和的形式,可逐一判断.【详解】由和等差中项的性质,可得数列是等差数列,即A正确;当时,由和等比中项的性质,可得数列是等比数列,即B不正确;由等差数列前项和,得可看成的二次函数,且不含常数项,则C正确;由等比数列前项和,若,则,所以,则此时数列不是等比数列,则D错.故选:AC10.ACD【分析】化简条件得到,求得或,可判定B不正确;设,在中,利用余弦定理求得,得到,求得和,结合面积公式,可判定C正确;根据题意得到点在以为弦的一个圆上,结合正弦定理和圆的性质,以及弧长公式,可判定D正确.【详解】对于A中,由正弦定理可知A正确;对于B中,由,可得,整理得,由正弦定理得,可得,因为,可得或,即或,所以是等腰三角形或直角三角形,所以B不正确;对于C中,由在线段上,且,,,,则,设,在中,利用余弦定理,整理得,解得或(舍去),所以,在中,可得,在中,由余弦定理可得,,所以,所以的面积为,所以C正确;对于D中,在中,因为,,则点在以为弦的一个圆上,由正弦定理可得外接圆的直径为,即,当点在外部时,如图所示,因为,可得,所以,所以的长度为,同理,当点在内部时,可得对应的弧长也是,所以动点的轨迹的长度为,故D正确.故选:ACD.11.ABD【分析】对于A,当平面平面时,三棱锥的高最大,再棱锥体积公式计算即可;对于B,设的中点为,则由知,,所以为三棱锥外接球的球心,其半径为,再用球的体积公式计算即可;对于C,若,由,,平面,平面,可得平面,得到,因为,直角三角形斜边最长,知道不成立;对于D,因为是定值,则只需到面的距离最大时,与平面所成角最大,当平面平面时,到面的距离最大为,再用锐角三角函数和同角三角函数关系分析计算即可.【详解】解:对于A,,当平面平面时,三棱锥的高最大,此时体积最大值为,故A正确;对于B,设的中点为,则由知,,所以为三棱锥外接球的球心,其半径为,所以外接球体积为,即三棱锥的外接球体积不变,故B正确;对于C,若,由,,平面,平面,可得平面,因为平面,则,因,根据直角三角形斜边最长,知道不成立,故C错误;对于D,因为是定值,则只需到面的距离最大时,与平面所成角最大,当平面平面时,到面的距离为,设与平面所成角为,此时,因为为锐角,所以,即与平面所成角的余弦值最小值为,故D正确.故选:ABDeq\f(b,a+b)解析:设事件A=“第一次抽出的是黑球”,事件B=“第二次抽出的是黑球”,则B=AB+eq\x\to(A)B,由全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A)).由题意P(A)=eq\f(b,a+b),P(B|A)=eq\f(b+c,a+b+c),P(eq\x\to(A))=eq\f(a,a+b),P(B|eq\x\to(A))=eq\f(b,a+b+c),所以P(B)=eq\f(bb+c,a+ba+b+c)+eq\f(ab,a+ba+b+c)=eq\f(b,a+b).13.【分析】利用中位线的性质得到,且,根据得到,然后利用点到直线的距离公式得到,最后再直角三角形中利用勾股定理列方程得到,即可得到双曲线方程.【详解】因为,,且为中点,所以,且,,因为,所以,解得,直线的方程为,所以,则,在直角三角形中利用勾股定理得,解得,所以双曲线的标准方程为.故答案为:.  14.1【分析】令,则原函数会转化为关于的一元二次方程的根,通过韦达定理确定根的情况,同时研究内层函数的图象,数形结合研究零点的范围.【详解】设,,当时,;当时,,故在上单调递增,在上单调递减,且时,;时,,∴,作出的图象,如图,要使有三个不同的零点,其中令,则需要有两个不同的实数根(其中)可得,∵,∴,则∴,则,且∴,故答案为:1.【点睛】关键点点睛:数形结合的思想来确定零点所在的区间,以及零点之间的关系,再利用韦达定理化简进而求得结果。15.(1)(2)【详解】(1)由,得,因为,所以,所以是以为首项,1为公差的等差数列,所以,所以,当时,,当时,也满足上式,所以数列的通项公式为.(2)由知:当时,,①,则②,由得:,化简得:,当时,也满足上式,所以数列的通项公式为.16.(1)证明见解析(2)【分析】(1)取中点,连接、,则,故可得面,从而得到.(2)利用向量法可求面、面的法向量,计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值.【详解】(1)取中点,连接、,因为,所以,又因为面面,所以面,因为面,所以.(2)因为为直径,故为底面圆的圆心,故平面,而故可建立如图所示的空间直角坐标系,因为圆锥侧面积为为底面直径,,所以底面半径为1,母线长为3,所以,则可得,故,设为面的法向量,则,令,则,所以.设为面的法向量,则,令,则,所以.则,所以平面PAB和平面PAC所成角的余弦值为.17.(1);(2)(i)证明见解析;(ii).【分析】(1)根据椭圆的离心率及三角形面积,列出方程组求解即得.(2)(i)设出直线的方程,与椭圆方程联立,利用斜率坐标公式,结合韦达定理推理即得;(ii)由(i)的信息,借助三角形面积建立函数关系,再求出最大值.【详解】(1)令椭圆的半焦距为c,由离心率为,得,解得,由三角形面积为,得,则,,所以的方程是.(2)由(1)知,点,设直线的方程为,设,由消去x得:,则,直线与的斜率分别为,,于是,整理得,解得或,当时,直线过点,不符合题意,因此,直线:恒过定点.  【点睛】思路点睛:圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题,可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量,建立函数关系求解作答.18.(1);(2)【分析】(1)对函数求导后,由,得或,然后分,和三种情况讨论导数的正负,从而可求出函数的单调区间和极值,使极大值为可求出;(2)将问题转化为在上的值域是在的值域的子集,由(2)知在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,然后分,和三种情况讨论即可.【详解】(1),因为,令,解得或,①当时,即时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以的极大值为,不符合题意;②当时,即时,,在R上单调递增,无极大值;③当时,即时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以极大值为,,符合题意.综上所述,.(2)由题意得当时,在上的值域是在的值域的子集,由(2)知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,且当时,,当时,,①当时,即时,当时,单调递增,,又因为当时,,因为,所以当时,使得,②当时,即时,当时,单调递增,,当时,,若满足题意,只需,即,③当时,即时,当时,在上单调递减,上单调递增,所以函数的最小值为,所以,又因为时,,若满足题意,只需,即,因为,所以,所以无解,所以不合题意综上,实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛:此题第(3)问解题的关键是转化问题为当时,在上的值域是在的值域的子集,进一步转化求函数的值域问题,从而得解.19.解:(1)因为cos2A+cos2B−cos2C=1,所以1−2sin2A+1−2sin2B−1+2sin2C=1,即sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理得a2+b2=c2.所以C=90∘.(2)由(1)知C=90∘,所以▵ABC的三个角都小于120∘,因为点M为▵ABC的费马点,所以∠AMB=∠BMC=∠CMA=120∘.由S▵ABC=S▵AMB+S▵BMC+S▵CMA得:12ab=12MA⋅MBsin120∘+12MB⋅MCsin120∘+12MC⋅MAsin120∘,整理得MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA=233ab .又因为c2=a2+b2=16≥2ab,所以ab≤8,当且仅当a=b时等号成立.所以MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA=233ab≤1633,所以MA⋅MB+MB⋅MC+MC⋅MA的最大值为1633.(3)由(2)知∠AMB=∠BMC=∠CMA=120∘.设MC=x,MA=mx,MB=nx,(x>0,m>0,n>0),由MA+MB=tMC得m+n=t.由余弦定理得:在△ACM中,|AC|2=x2+m2x2−2mx2cos120∘=m2+m+1x2,在▵BCM中,|BC|2=x2+n2x2−2nx2cos120∘=n2+n+1x2,在▵ABM中,|AB|2=m2x2+n2x2−2mnx2cos120∘=m2+n2+mnx2,因为|AC|2+|BC|2=|AB|2,所以m2+m+1x2+n2+n+1x2=m2+n2+mnx2,整理得m+n+2=mn.因为m+n+2=mn≤m+n22,当且仅当m=n时等号成立,所以t+2≤t22,整理得t2−4t−8≥0,解得t≥2+23或者t≤2−23(舍去),所以实数t的最小值为2+23.

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