第41届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题2024年10月26日9:00-12:00一、（50分）实验研究发现，某些原子核会释放出一个电子而转变为另一种原子核，释放出的电子的动能呈连续谱分布，这种现象被称为原子210核的β衰变。例如原子核83Bi发生β衰变释放出的电子的动能分布谱210（在83Bi静止的参考系中测得）如图1a所示。已知电子的静止质量푚0.511MeV/c2。忽略电子在原子中的结合能。（1）记发生β衰变的母原子的静止质量、发生β衰变后的子原子的静止质量分别为푀(푍,퐴)、푀(푍+1,퐴)，其中푍、퐴分别是母原子的原子序数、核子数。由于将原子的电子都电离掉而研究原子核的β衰变非常困难，因此通常在原子层次上考察原子核的β衰变。试给出原子发生β图1a衰变的条件。2102（2）已知83Bi的原子质量为MP209.984130amu（其中amu为原子质量单位，1amu931.494MeV/c），在β衰变后生成的原子质量为MD209.982883amu。假如在β衰变过程中除去释放出β电子之外没有210生成另外的新粒子，那么β电子的动能（以MeV为单位）是多大？设83Bi原子在初始时是静止的。（3）第（2）问得到的β电子的动能是完全确定的，这显然不符合实验观察到的连续谱的结果；所以在β衰变的过程中必然有其他粒子生成。若只生成了一个其他粒子，试根据图1a所示的实验结果估算该粒子的静止质量的范围。（4）研究表明，原子核发生β衰变的元过程是其中的一个中子n转变成了一个电子e、一个质子p和一个其他粒子X。已知中子、电子和质子自身都具有固有的角动量，称为粒子的自旋；进一步的研究表明，中1h子、电子和质子的自旋的取值都是量子化的，它们各自在任意给定方向上的投影的大小都为（，h22π是普朗克常量）。设微观粒子的角动量为（它在任意给定方向上的最大投影为）、微观粒子的角动1L1l12量为（它在任意给定方向上的最大投影为l），这两个粒子的总角动量在任意给定方向上的L22LL1L2最大投影的可能值为。求粒子X的带电量和自旋。llll12,121,,ll12二、（50分）晶格的热振动问题常可简化成耦合的弹簧振子问题。考虑一个一维耦合弹簧振子系统模型。设有N（N1）个质量为M的大珠子，编号为1、3、5、···、2N1；N个质量为m的小珠子，编号为2、4、6、···、2N。这2N个珠子按编号从小到大的次序套在一个光滑、水平、闭合、刚性的固定大圆环上。所有编号相邻的珠子之间（包括1号和2N号）都由相同的、劲度系数为k的轻弹簧相连，并达到静力平衡状态。现研究上述一维耦合弹簧振子系统S在平衡状态附近的微振动。由于圆环半径远大于相邻珠子的间距，可近似认为每个珠子是各自在相应的直线上振动的质点。（1）试写出第i（i1,2,,2N）个珠子满足的运动方程，设其偏离平衡位置的位移为푥，푥的正方向均与环的逆时针方向一致。（2）S有各种振动形式。其中有一类特别的振动模式，在此振动模式中所有珠子都以相同的频率作稳定的微振动。这称为S的本征模式，其频率称为本征频率。试求出S的所有可能的本征频率휔。提示：可尝试用波（行波）的形式（相邻珠子振动的相位差为훼）求解。（3）对于频率为휔的本征模式，设所有大珠子的振幅都为퐴，小珠子的振幅都为퐵。求（3.1）퐴和퐵之间的关系；（3.2）所有珠子在一个振荡周期内的平均动能Ek和S的总能量E，结果中均不能出现퐵。（设静力平第1页共5页衡状态的能量为0。）（4）假设1号珠子被锁定不动，但其余所有珠子仍可无摩擦滑动。试求出这种情况下S的所有微振动的本征频率휔；并对频率为휔的本征模式，导出其푥=푥(푡)（i1,2,,2N）的表达式（结果中均不能出现퐵）。（5）如1号珠子的锁定被解除，且其质量变为。即使在这种情况下，该系统也有一些本征频率휔完全不依赖于。试求出这种情况下S的所有不依赖于的微振动的本征频率휔；对于频率为휔的本征模式，试导出푥=푥(푡)（i1,2,,2N）的表达式（结果中均不能出现퐵）。三、（50分）本题中的一些物理量用复数表示。例如，电场强度的某分量随传播距离푙和时间푡变化的关系式ikl(t0)的复数表示为Et()Ee，其中和k分别为角频率和波矢的大小，휙为初相位；퐸是复数，而相应퐸是퐸的模퐸，余类推。第一部分：光学器件的矩阵表示。（1）（1.1）马赫-曾德尔（Mach-Zenhder，简称MZ）干涉仪示意图如图3a所示。入射光经过半透半反分束器，再经过上下两处全反镜（全反射镜），分为上路（射向M1）和下路（射向M2）；再经过第二个相同的半透半反分束器后发生干涉。可调节光路，使第二个分束器下方的探测器探测的光强为零。这时入射光的能量去了哪里？作图并简明描述。（1.2）利用图3a所示的装置可研究分束器的透图3a：马赫-曾德尔干涉仪示意图（部分）射系数和反射系数之间的关系。这里分束器是一个50/50半透半反（对所有偏振）分光器件，即反射系数푟̃和透射系数푡̃的大小满足√2푟=|푟̃|=푡=|푡̃|=2反射、透射都会引入相位差，即푡̃푟̃=푟e,푡̃=푡e，=e()=e푟̃试求휙为多少？（2）图3b给出了光的P、S偏振正方向的定义：在图3b(a)中，k为光的传播方向，P-S-k构成右手正交系，P方向又称为水平方向H，S方向又称为垂直方向V；图3b(b)画出了分束器涉及的入射、反射和透射光中的P、S、k方向，以反射为例，풌、P、S分别代表反射光的传播方向、反射光中P、S偏振的正方向。经分束器后，反射光的P、S偏振分量均可用入射光的P、S分量表示퐸=푎퐸+푏퐸,퐸=푐̃퐸+푑퐸它们可由一个矩阵表示(a)(b)图3b퐸푎푏퐸=퐸푐̃푑퐸上式中的2×2矩阵称为分束器的反射矩阵，余类推。已知分束器对P和S分量的反射系数分别为푟̃=푟e和푟̃=푟e，试写出分束器的反射矩阵푅和透射矩阵푇的具体形式（用本问中给的已知量和常数表示）。(a)全反镜(b)1/4波片(快轴)(c)线偏振片（3）图3c(a)为全反镜示意图，试写出图3c它的反射矩阵푀.（4）对于1/4波片，偏振沿其快轴的光经过波片后会比偏振沿其慢轴的光的相位领先。图3c(b)为快轴沿第2页共5页45方向的1/4波片的示意图，풌垂直于此波片。写出该波片的矩阵푄，并将其表示成标准形式푄=푎1푏′。푐̃′푑′（5）线偏振片的透光方向沿水平（H）、垂直（V）和45方向的示意图如图3c(c)所示，分别写出它们的矩阵퐿、퐿、퐿°.第二部分：四象限干涉。干涉仪是通过光强的变化测量相位变化的一种仪器。一般的干涉仪（如迈克尔逊干涉仪）仅测量光强并可据其定出相位∆휙的大小，但无法确定其正负，还需要通过观察条纹的吞吐变化才能判断∆휙的正负。这在某些应用中并不方便。图3d给出了四象限干涉仪的示意图，它可以通过仅测量A、B处探测器的干涉光强，便可得到∆휙的确定值（−휋<∆휙≤휋）。激光经过一个垂直透光方向（垂直于纸面）的线偏振片(V)被全反镜1反射后射入半透半反分束器1，分成光路1和光路2。光路1的光被全反镜5图3d：四象限干涉仪示意图反射，再经过快轴沿45的1/4波片进入半透半反分束器2，再次被分成两路后分别通过线偏振片(V)到达探测器A和线偏振片(H)到达探测器B。光路2的光被全反镜2、3和4反射后，通过一个透光方向沿45的线偏振片，再由分束器2分成两路，分别射向探测器A、B。（6）已知激光器发出的激光到达分束器1前的振幅为퐸，푙、푙、푘分别表示光从分束器1沿光路1、2到达分束器2的光程和激光的真空波矢的大小，分别写出探测器A的光强和探测器B的光强中的干涉项干涉、干涉（干涉项是指光强中因干涉所引起的贡献，即两路光同时存在的光强减去两路光单独存在时的光퐼퐼强）。进而将干涉的计算结果中的总相位记为，再将干涉、干涉用表示出来。퐼∆휙퐼퐼∆휙（）简述如何通过干涉、干涉的数值求得的方法。7퐼퐼∆휙不计光在传播过程中的所有损耗。四、（70分）考虑在刚性、粗糙的水平地面上的一个载人的两轮平衡车简化模型，如图4a所示。该模型包含两个相同的刚性圆形车轮（厚度忽略不计），每个车轮的半径为r，质量为m且均匀分布在车轮边缘；两车轮的圆心用长度为d、质量可忽略的细直刚性轮轴相连，两车轮各自所在平面始终与轮轴垂直。将平衡车除两轮、轮轴以外的其它车体部分和车上站立的人简化为质量为M、长度为L的匀质刚性细杆，细杆底端和轮轴中心位置C相连，细杆可绕C做无摩擦转动；此外，细杆与轮轴之间可以有沿轮轴方向的力偶矩（即扭矩，由杆上的发动机提供）。假设车轮在地面上始终做纯滚动。忽略平衡车系统内部所有摩擦阻力、空气阻力和形变导致的能图4a量损失。取z轴正向为竖直向上，x轴与轮轴平行，y轴与车行进的方向平行。已知重力加速度大小为g。（1）本问中发动机不输出扭矩，细杆与轮轴之间的接触可视为点接触；设两个车轮与轮轴不是刚性连接（可以各自独立转动），且车轮质量可以忽略。考虑平衡车的转弯过程，C点在水平面上做角速度为的匀速圆周运动。细杆始终保持在轮轴所在的竖直平面内，且向内侧的倾角휙保持不变，其后视图如图4b所示。求（1.1）C点运动轨迹的半径푅(휙)；（1.2）地面对左、右两个车轮的正压力的大小푁、푁（最后表达式中不得含푅）。左右图4b第3页共5页在下面第（2）（3）问中，细杆在垂直于轮轴的平面内运动；两个车轮与轮轴刚性连接，车轮质量不可忽略。（2）考虑平衡车沿直线向前加速的过程，平衡车的侧视图如图4c所示。设细杆处在向前倾角为的位置，为使保持不变，发动机需要对轮轴施加合适的扭矩()。求()和平衡车质心的加速度a()。设y轴正向指向平衡车前进的方向，扭矩的正向为图4c中的逆时针方向。（3）考虑平衡车的小振动。假设发动机输出的扭矩()满足第（2）问求出的函数关系式，关系式中的各参量仍为第（2）问中的值。但是，本问中细杆的质量变为M。对于合适的M值，细杆倾角（在0附近）和C可以做频率相同的小振动。求M需满足的条件，以及此小振动的角频率。图4c五、（50分）考虑一个球对称的恒星，其物质分布在半径为푅的球体中，总质量为M，球心为O．假设恒星物质只含有两种成分：一是中性或电离的原子，称为原子物质；二是辐射，称为光子气体。已知万有引力常量为퐺.假设恒星的总能量主要来自原子物质，在以下第（1）（2）（3）（4）问中可忽略辐射。（1）首先研究恒星的静力平衡，此时可将恒星物质视为流体。设r为恒星内的任一点到其中心O的距离，该点处流体的压强为푝(푟)，质量密度为휌(푟)，半径为푟的球体内的总质量为푚(푟)。试写出平衡状态下푚(푟)与푝(푟)满足的微分方程。（2）利用第（1）问的结果，证明푚(푟)与푝(푟)满足不等式dGm2(r)pr()40dr8πr并据此估算恒星中心O处压强的下界，结果用푀、푅、G表示。（3）试计算恒星自身的引力势能，用푝(푟)的积分式表示。设所有恒星物质被球对称地拉到无穷远处为势能的零点。（4）考虑恒星物质的热力学。假设恒星物质的内能密度u(r)与压强p(r)满足关系(훾−1)푢(푟)=푝(푟)其中훾为绝热指数。只考虑훾>1且훾不依赖于푟的情形。如果恒星不会解体，훾应满足什么条件？以下各问考虑辐射的效应。假设恒星内部的光子仍然以真空中的光速푐传播。（5）假设恒星内光子气体处处达到局域热平衡，光子气体的内能来自光子的能量，压强来自光子的光压。试计算这种光子气体的绝热指数훾.（6）原子物质能吸收光子。当辐射通过厚度为d푟、密度为휌的物质薄层时，有部分光子被吸收。被吸收的光子所占的比例为휅(푟)휌(푟)d푟，其余光子穿过该物质薄层，其中휅(푟)称为不