江苏省无锡市2025届高三11月期中教学质量调研测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x|−10且S2025<0”是“a1012a1013<0”的(    )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)=ln2−xx+xx−1，则下列函数是奇函数的是(    )A.f(x+1)+1 B.f(x−1)+1 C.f(x−1)−1 D.f(x+1)−17.若sin(θ2+π4)=33(−π2<θ<π2)，则tan2θ的值为(    )A.−255 B.255 C.−427 D.4278.在△ABC中，已知BC=3，AC=1，∠ACB=60∘，点D是BC的中点，点E是线段AD上一点，且AE=13AD，连接CE并延长交边AB于点P，则线段CP的长度为(    )A.75 B.375 C.65 D.355二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数中，在区间(π2,3π4)上单调递增的函数是(    )A.y=sin(2x−π4) B.y=cos(x+2π3) C.y=|sin2x| D.y=sin2x10.下列说法中正确的有(    )A.若a>b>0，cb>0，c<0，则ca>cbC.若1a2，则b2>a211.函数f(x)=x3+ax2+bx−1.下列说法中正确的有(    )A.当a=3，b=1时，有f(−2−x)+f(x)=0恒成立B.∃a，b∈R，使f(x)在(−∞,1)上单调递减C.当b=0时，存在唯一的实数a，使f(x)恰有两个零点D.当b=0，x∈[−2,0]时，x−6≤f(x)≤x恒成立，则a∈[14,1]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(0,2)，b=(3,1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为          ．13.已知实数a，b，c满足9a=24b=c且1a+1b=3，则c=          ．14.任何有理数mn都可以化为有限小数或无限循环小数;反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为mn的形式，从而是有理数.则1.4˙=          (写成mn的形式，m与n为互质的具体正整数);若1.4，1.44，1.444，⋯⋯构成了数列an，设数列bn=1(10n+1−1)⋅(an−1)，求数列{bn}的前n项和Sn=          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a与b的夹角为135∘，且|a|=1，|b|=2，若c=λa+(1−λ)b，λ∈R.(1)当b⊥c时，求实数λ的值;(2)当|c|取最小值时，求向量b与c夹角的余弦值．16.(本小题15分)已知函数f(x)=x2+aln(x+1)，a∈R.(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求a的取值范围;(2)求函数g(x)=f(x)−(a2+2)x的单调递减区间．17.(本小题15分)在△ABC中，已知(3tanA−1)(3tanB−1)=4．(1)若△ABC为锐角三角形，求角C的值，并求sin2A−cos2B的取值范围;(2)若AB=3，线段AB的中垂线交边AC于点D，且CD=1，求A的值．18.(本小题17分)已知函数f(x)=ex．(1)若∀x∈R，不等式mf(x)−x>0恒成立，求实数m的取值范围;(2)过点T(t,1)可以作曲线y=f(x)的两条切线，切点分别为A(a,ea)，B(b,eb). ①求实数t的取值范围; ②证明：若a>b，则|AT|>|BT|．19.(本小题17分)在下面n行、n列(n∈N∗)的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列{an};第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列{bn};其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为c1，c2，c3，⋯，cn．第1列第2列第3列⋯第n列第1行1222⋯2n−1第2行359第3行510⋯⋯第n行2n−1(1)求数列{cn}通项公式;(2)对任意的m∈N∗，将数列{an}中落入区间[bm,cm]内项的个数记为dm， ①求d1和d10的值; ②设数列{am⋅dm}的前m项和Tm;是否存在m∈N∗，使得9(Tm+2)=5m⋅3m−1，若存在，求出所有m的值，若不存在，请说明理由．参考答案1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.C 8.B 9.BC 10.ABD 11.ACD 12.32,12 13.6 14.139；1419−110n+1−1 15.解：由题，|a|=1，|b|=2，a,b=135°，a·b=a·b·cosa,b=1×2×−22=−1．(1)当b⊥c，所以b·c=b·λa+1−λb=λa·b+1−λb2=−λ+21−λ=2−3λ=0，所以λ=23，故实数λ的值为23．(2)由c=c2=λa+1−λb2=λ2a2+2λ1−λa·b+1−λ2b2=λ2−2λ1−λ+21−λ2=5λ2−6λ+2=5λ−352+15，当λ=35时，cmin=55，此时c=35a+25b，又b·c=35a+25b·b=35a·b+25b2=−35+45=15，所以cosb,c=b·cb·c=152×55=1010，即向量b与c夹角的余弦值为1010． 16.解：(1)f′(x)=2x+ax+1=2x2+2x+ax+1=0，∴2x2+2x+a=0在(−1,+∞)上有两个不等的实根，设m(x)=2x2+2x+a，∵m(x)在(−1,−12)上单调递减，在(−12,+∞)上单调递增，故只需m(−1)=a>0m(−12)=−12+a<0,∴08时，a4−1>1，∴由g′(x)<0，得18时，g(x)的单减区间为(1,a4−1)． 17.解：(1)∵(3tanA−1)(3tanB−1)=4，∴3tanAtanB−3tanA−3tanB+1=4，∴3tanAtanB−tanA−tanB=3，∴tan A+tan B1−tan AtanB=−3，∴tan(A+B)=−3，∴tanC=3，∵C∈(0,π)，∴C=π3，∴角C的值为π3；sin2A−cos2B=1−cos2A2−1+cos2B2=−12[cos2A+cos2(A+π3)]=12(32sin2A−12cos2A)=12sin(2A−π6)，∵ΔABC为锐角三角形，0x⇒m>(xex)max ，令g(x)=xex，g′(x)=ex−xexe2x=1−xex=0⇒x=1，当x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增;当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减， ∴g(x)max=g(1)=1e，∴m>1e．(2) ①设切点为(x0,ex0)，∴f′(x)=ex，k=ex0 ，∴切线方程为y=ex0(x−x0)+ex0，它过(t,1)，∴ex0(t−x0)+ex0=1，∴t=1ex0+x0−1．令ℎ(x)=1ex+x−1，y=t与y=ℎ(x)有两个不同的交点，ℎ′(x)=−e−x+1，当x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减;当x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，作出ℎ(x)大致图象，如下图所示：∴t>0． ②由题意知1ea+a−1=t1eb+b−1=t，其中b<0ea+b⇒a+b>0，a>−b， ∴|AT|>1+e2−b.(1−1e−b)=1+e2beb⋅(1−eb)=1+e2b(1eb−1)=|BT|，即证． 19.解：(1)由题意知cn+1=cn+2n，c1=3，∴cn+1−cn=2n⇒n≥2时，cn=(cn−cn−1)+(cn−1−cn−2)+⋯+(c2−c1)+c1=2n−1+2n−2+⋯+21+3=2(1−2n−1)1−2+3=2n+1，而c1=3也满足上式，∴cn=2n+1．(2) ①bn=1⋅2n−1=2n−1，an=1+2(n−1)=2n−1，bm=2m−1，cm=2m+1，令bm≤an≤cm⇒2m−1≤2n−1≤2m+1⇒2m−1+12≤n≤2m+22，当m=1时，1≤n≤2，此时