辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024—2025学年度上学期期中考试高三年级试题数学命题人：沈阳市第五十六中学王璇评审题人：康平县高级中学何庆超考试时间：120分钟试卷总分：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。2.请将答案正确填写在答题卡上。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点分别为、，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.若数列为等比数列，则“”是“”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件4.设等差数列中，，使函数在时取得极值0，则的值是（）A.2或 B.2 C. D.5.在正四棱柱中，，，是该正四棱柱表面上的一动点，且满足，则点的运动轨迹的长度为（）A.16 B. C. D.6.已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足.若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（）A. B.0 C. D.7.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（）A.0 B.16 C.22 D.328.已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A.4 B. C.8 D.二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分。9.下列说法，正确的有（）.A.已知，，则向量在向量上的投影向量是B.函数，向左平移后所得的函数为奇函数.C.已知，则D.在中，若，则为等腰三角形10.下列说法正确的是（）.A.函数在区间的最小值为B.函数的图象关于点中心对称C.已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为D.若恒成立，则实数的取值范围为11.在边长为4的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）A.与所成角的余弦值为B.三棱锥外接球表面积为C.当在线段上运动时，的最小值为6D.若为正方体表面上的一个动点，、分别为的三等分点，则的最小值为第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列，其前项和为，则______.13.已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等，侧面积相等，且它们的高均为，则此正四棱锥的体积为______.14.已知梯形中，，，，，，点、在线段上移动，且，则的最小值为______.三、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.16.（15分）已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.17.（15分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）设，当时，在区间上，若对于任意两个自变量的值，都有，求实数的范围.18.（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19.（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.（1）求曲线在处的曲率的平方；（2）求正弦曲线曲率的平方的最大值.（3）正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程.2024-2025学年度上学期沈阳市重点高中联合体期中考试高三数学第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.B2.A3.D4.C5.B6.D7.B8.C二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分。9.ACD10.ABDHYPERLINKhttp://11.AC11.AC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.500013.14.2三、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）【详解】（1）由及正弦定理得，……2分故，……4分在中，，，所以，可得，而，故即……6分（2）由正弦定理的得，，因为，则，……8分所以，……10分因为为锐角三角形，则，，，故，所以周长的取值范围……13分16.（15分）当时，，解得.……2分因①，当时，②①-②得，，即，……4分则，即，，又.……6分所以是以2为首项，2为公比的等比数列.，即，……8分（2）由（1）可得：……10分令……13分所以……15分17.（15分）【详解】（1）由，得，……2分所以，所以，……3分所以，所以，……4分所以曲线在处的切线方程为，即.……6分（2）由（1）可得，，……7分因为，所以，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，……9分所以的最小值.又，，所以，从而的最大值，……11分所以设，则，由，知，所以单调递增，……13分因为，，所以的取值范围为所以的范围为……15分18.（17分）【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点，，，……2分，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面.……5分（2），，，，，……6分平面平面，平面平面，平面，平面，……8分又，平面，，而，，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，为棱的中点，，（i），，设平面的一个法向量为，则，令，则，，，……11分平面的一个法向量为，，根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为……13分（ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，设，，则，，由（2）知平面的一个法向量为，，……15分点到平面的距离是，.……17分19.（17分）解：（1）因为，所以，，……2分所以，……3分（2）由，，则，，令，则，故，……5分设，则，在时，递减，所以，最大值为1.……8分（3）因为，，则.……9分①当时，因为，所以在上单调递减.所以.所以在上无零点.……11分②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使.……12分当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，且.……13分所以.设，，，所以在上单调递减，在上单调递增.……14分所以.所以，得.所以。所以在上存在一个零点.……16分所以在有2个零点.综上所述，在上的零点个数为2……17分