数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BBCDCBCA【解析】1．∵UA{3，，56}，∴()UAB{35}，，故选B．701102．由正态密度函数的对称性，90，故选B．222ii3．zz12i，故选C．2214．设AFAEAD(1)，则AFABBEADABAD()(1)1，又，223∴1，故选D．243b35b55．由ab230ab得a，∴abbb1(2)3bb2bb22b2≥253，当且仅当ab51，52取到等号，故选C．6．由题意知：三人从5个景点中各自随机选择3个景点游玩，总的有51253种选法，所选12景点全部不同有A603种，所以所求概率为，故选B．5250.9PPe5k，5ln0.9k，tln0.15lg0.15500t7．由题意得kt，∴0.1PP00ektln0.15ln0.9lg0.91lg912lg3108.7，故选C．1x8．因为fx()lnab(ab，R)为奇函数，所以其定义域关于原点对称，易知x1，14x1111x所以x1，即有a0，得到a，所以fb(x)ln1(1)221x4x1x1lnb，函数定义域为{|xx1且x1}，得到fb(0)ln0，所以bln2，2(1x)42x11xxxx11xxx故fx()lnln2ln，此时有fx()lnln2(1xx)4141414xx数学参考答案·第1页（共8页）1x1xxf()x，即a，bln2满足题意，所以fx()lnln|1x|ln|1x|，214x4定义域为{|xx1且x1}，结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图，当x1时，x111fx()ln(x1)ln(x1)，fx()4xx114x29x29，由fx()0，得到x3是唯一的4(x21)4(x21)极小值，又f()x在区间(1ttt，22)上有最小值，所以1132ttt2，解得34t，故选A．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABDACBCD【解析】T2π9．由题意，0.5，∴T12，∴π，当t0时，小球位于最高点，则2Tπsin1，，，[0π]∴，故A，B正确；对于C，由题意A5，当t[8，9]，小球经2过一个周期，则其路程为420A，故C错误；对于D，当t9.75时，由周期性，等价于πt0.75，此时hsin2π0.75sin2π0，由正弦函数的图象可知，图象自下而上2穿过x轴，小球正在向上运动，故D正确，故选ABD．10．取AB的中点E，对于A，由PAPBPCPD0，得APAPABAPACAP11131AD0，所以AP()ABACADABABADADABAD，故A442821正确；对于B，当2时，APAB22ADABAD2(0)AC，点P2在AC上，由于B到直线AC的距离为2，此时点P与C重合，故取不到最小值2，故BAB错误；对于C，若21，则APADAEAD22，所以点P在DE上，2由于DECB∥，所以△PBC的面积为定值3，故C正确；对于D，∵42122，数学参考答案·第2页（共8页）222∴AP22ABAD216484ABAD22，所以点P的轨迹是以A为圆心，2为半径的圆位于梯形ABCD内部的圆弧（圆心角为60的扇形弧），所以PC的最小值为||2AC，即为232，故D错误，故选AC．11．对于A，假设a2，则aa222(2k≥)，即aa2220，该方程无实根，故kk1k1k1k12A错误；对于B，假设ak(0，，则1)aakk1(1)1(01)，，又a1(0，1)，则对于*2nN，an(0，1)，那么，aaaaaannnnnn1(1)0，∴数列{}an是递增数列，22B正确；对于C，若a1(1，，则2)aaa2112(1)1a1，由二次函数的性质可知，a2(0，，由1)B选项的分析可知，当n≥3时，an(0，1)，故数列{}an的最大项为a1，9C正确；对于D，由aa(1)12得1(1)aa2，因为a，所以a(0，，1)nn1nn1110n1111∴lg(1aann1)2lg(1)，∴，即bbnn1，又因为lg(1aann1)2lg(1)211b1，所以数列{}b是以−1为首项，为公比的等比数列，19n2lg110n11n121∴S22，故D正确，故选BCD．n1122三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号12131415π答案500024【解析】1112．由已知求得aq8，，∴aaq4．125122421π1013．∵cos22cos1，∴cos，又，π，∴cos，进而510210310π3πππsin，∵，，π，，∴，π，又cos()102222数学参考答案·第3页（共8页）5π250，∴，π，∴sin()，∴sinsin[()]52522322π3π5πsin()coscos()sin，结合，可知：．1010222414．∵f(12x)是偶函数，∴f(12xf)(12x)，即f(1xf)(1x)，从而f()xfx(2)，又f()x是奇函数，则f()xfx()，∴f(2)()xfx，进而f(4)(2)()xfxfx，所以f()x是周期为4的周期函数．由当x[0，时，1]f()xx2，得ff(0)0，，(1)1ff(2)(0)0，，，即f(3)f(1)1f(4)0100fk(4)0，，fk(41)1fk(43)1(kZ)，∴ifi222222()13579i12524972299258165000．2四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）Sa35，33adad114，2ad1，解：（1）由得即，，，aa2nn21andand11(21)2[(1)]1ad11解得ad1112，，∴aandnn(1)21．…………………………………………（6分）b2，（2）由b11且{}bn是递增的等比数列，得qb21b1故bak2k(2)N且≥k，q由于数列{}an是递增数列，则当取最小值时，ba223，即q3，nn11∴bn133，k1若baki，则321i，31k1∴i．……………………………………………………………………………（13分）216．（本小题满分15分）π2sinbccBsin5解：（1）由正弦定理，sinC4，sinBCsinb105π25又cb，∴0C，∴cosCC1sin2，453π2210∵cosBACcosCcosCsinC，42210………………………………………………………………………………………（4分）数学参考答案·第4页（共8页）1∵ADABAC()，222211105∴AD(ABAC2ABAC)4102210，4410210∴AD．……………………………………………………………………………（7分）2πca2sinC（2）∵，cAsin4，sinCAsin∴asinCCsinπ2sinC1142sincos1CC，∴SacBsin21△ABC22sin2sintanCCCπ0C，2ππ∵△ABC是锐角三角形，∴∴C，3ππ420C，421∴∴tanC1，01，tanC∴12S．……………………………………………………………………………（15分）17．（本小题满分15分）p（1）解：根据题意直线l的斜率不为0，可设直线l：xty，A()()xy，，Bxy，，21122代入抛物线方程y22px得：yptyp2220，222∴4(pt1)0，yy122pt，yy12p，2222∴||1|ABty12y|1t(y12y)4y11y2(1)pt，3816p当60时，t，∴||AB，333∴p2，抛物线E的方程为yx24．…………………………………………………（5分）yy22()pp222（2）证明：由（1）可知，yyp24，则xx121，121222pp4p24∴OAOBx12xy12y413．…………………………………………………（8分）（3）证明：设Cx()()33，，yDx44，y，直线AC的方程：xmy3，直线BD的方程：xny3，数学参考答案·第5页（共8页），xmy32由2得ymy4120，yx4，∴yy1312，同理，yy2412，∴yyyy1234()()144yy13yy24，由（2）知yy124，则yy3436，1||||sinMAMBAMBSyy||||MAMB41△ABM212．SMCMDyy1||||369△CDM||||sinMCMDCMD342……………………………………………………………………………………（15分）18．（本小题满分17分）lnx1lnx（1）证明：fx()f()x，xx2当x(0，1)时，f()xfx0()在(0，1)上单调递增；当x(1，)时，f()xfx0()在(1，)上单调递减，所以fx()maxf(11），即fx()≤1．……………………………………………………（4分）1（2）解：令x1，则2(1)1af≥≥a；……………………………………………（6分）2111111当a≥时，∵，，x(0)∴ax≥≥x21()x≥fx，2xx22x所以原不等式成立，1故实数a的取值范围是a≥．…………………………………………………………（9分）2lnx1lnx（3）证明：fx()f()x，xx2ln