绝密★启用前2024~2025学年高三11月测评（福建）数学全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若和是两个互不相等的正实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，是两个非零平面向量，，则在方向上的投影向量为（）A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，将角的终边顺时针旋转后经过点，则（）A． B． C． D．6．定义在上的偶函数和奇函数满足，若函数的最小值为，则（）A．1 B．3 C． D．7．数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为．，为数列的前项和，则（）A． B． C． D．8．函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列函数最小值为4的是（）A． B．C． D．10．已知函数，则下列说法正确的是（）A．当时，的最小正周期为B．函数过定点C．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则的最小值为D．函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为11．已知正方体的棱长为2，，，分别是，，的中点，点为正方体表面上的一动点，则下列说法正确的是（）A．的面积为B．三棱锥体积的最大值为C．若平面，则点的轨迹长度为D．当点为的中点时，到直线的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．函数，则________．13．在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则________．14．记数列的前项和为，若对任意的正整数，函数均存在两个极值点，，且满足，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为，若，．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）若，求数列的前项和。16．（本小题满分15分）如图所示，，分别为半圆锥的底面半圆弧上的两个三等分点，为中点，为母线的中点．（1）证明：平面；（2）若为等边三角形，求平面与平面的夹角的余弦值．17．（本小题满分15分）函数，其中为整数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，恒成立，求的最大值．18．（本小题满分17分）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．（1）求；（2）求的面积；（3）在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值．19．（本小题满分17分）设为函数的导函数，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数，区间称作函数的凹区间；反之，则称为区间上的凸函数，区间称作函数的凸区间．（1）已知函数，求的凹、凸区间；（2）如图所示为某个凹函数的图象，在图象上任取两个不同的点，，过线段的中点作轴的垂线，与函数图象和轴分别交于，两点，则有．①将不等关系转化为对应的不等式；②证明：当，时，恒成立．2024~2025学年高三11月测评（福建）·数学参考答案、提示及评分细则题号12345678答案BCACBCBD题号91011答案BCDBCACD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】易得，，则，所以，故选B．2．【答案】C【解析】，在复平面内对应的点在第三象限，故选C．3．【答案】A【解析】若，易得，或者，，可推出，反之，若，无法推出，故选A．4．【答案】C【解析】因为，所以，即，可得，则在方向上的投影向量为，故选C．5．【答案】B【解析】根据三角函数的定义，，即，解得，即，易得是第四象限角，，，解得，故选B．6．【答案】C【解析】，，解得，，，设，函数的对称轴为，当时，，解得或者（舍）．当时，，解得（舍）．故选C．7．【答案】B【解析】易得，，所以，显然当为偶数时，，当为奇数时，，此时，因此．故选B．8．【答案】D【解析】将条件变形为，构造函数，则，则，即，所以，，，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，则的最小值为。故选D。二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】BCD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）【解析】A选项错误，，当时，最小值为2；B选项正确，，当且仅当，即时，等号成立；C选项正确，，当且仅当时等号成立．D选项正确，，当且仅当，即时等号成立，故选BCD．10．【答案】BC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】A选项错误，当时，最小正周期；B选项正确，，与的取值无关；C选项正确，向左平移个单位长度后的函数解析式，令，，解得，当时，的最小正值为；D选项错误，令，即，解得或，，，即或者，要使得在区间上恰好有5个零点，令，满足，解得．故选BC．11．【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）【解析】A选项正确，是边长为的等边三角形，；B选项错误，由三垂线定理易得，平面，要使得三棱锥体积达到最大值，只需点与点重合．设与平面的交点为，由等体积法得，，而，所以，此时三棱锥的体积为；C选项正确，点在正三角形上，其轨迹长度为；D选项正确，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，在上的投影长度为，故到的距离为，故选ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案及评分细则】1（5分，其他结果均不得分）【解析】，，．13．【答案及评分细则】2（5分，其他结果均不得分）【解析】，由正弦定理得，，解得，由余弦定理得，，，解得，（舍），所以．14．【答案及评分细则】（或或）（5分，结果正确均得分）【解析】的定义域为．令，即，如图所示，不妨设，因为，，所以，解得：，代入条件得：，化简得：，即，，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．【答案】（1），（2）【解析及评分细则】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意得：，解得：，……3分通项公式，……4分前项和；……6分（2），……7分……9分①-②：……12分所以．……13分16．【答案】（1）详见解析（2）【解析及评分细则】（1）设的中点为，连接，，，，，在中，为三角形的中位线，所以，，……2分因为，分别为半圆弧上的两个三等分点，为等边三角形，，所以，，……4分易得四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；……6分（2）解法一：过作的垂线，则垂足为的中点，过作的垂线，设垂足为，连接，因为平面平面，平面平面，，所以平面，，……8分又因为，，所以平面，，则为平面与平面的夹角，设底面半径为，则，……11分，，……13分在中，，即，……14分所以，即平面与平面的夹角的余弦值为．……15分解法二：作的中点，连接，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设底面半圆的半径为2，则，，，，，，……9分由图形可知平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，，所以是平面的一个法向量，……13分，即平面与平面的夹角的余弦值为．……15分17．【答案】（1）（2）2【解析及评分细则】（1）当时，，，即切点坐标为，，切线斜率，……3分由点斜式得，切线方程为，即；……5分（2）当时，，则恒成立，……6分当时，，，……8分两边同时取对数，则，问题等价于恒成立，……10分设且，，……11分当时，显然恒成立，则在区间上单调递增，，满足题意，当时，令，即，解得，则函数在区间上单调递减，此时，不符合题意，……14分综上所述，整数的最大值为2．……15分18．【答案】（1）（2）（3）【解析及评分细则】（1），……1分因为，所以，……2分由正弦定理得：，即，所以；……4分（2）将余弦定理：代入得：，……5分两边同时除以，，……7分，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，即，由余弦定理得：，……9分即，的面积；……11分（3）由（1），（2）可知，，，以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴建立直角坐标，，……12分则，，，∴，所以（为变量），则，……16分所以的最小值为．……17分19．【答案】（1）详见解析（2）①②详见解析【解析及评分细则】（1）易得函数的定义域为，，……1分设，，……3分当时，恒成立，在区间上单调递减，当时，恒成立，在区间上单调递增，所以函数的凹区间为，凸区间为；……5分（2）①对于凹函数定义域中的任意两个自变量，，，，，，，∴，，由，有；……8分②对不等式两边取对数，问题等价于，恒成立，……10分构造函数，，即恒成立，……12分，令，……13分，……14分令，即，解得，所以是函数的凹区间，，所以当时，是凹函数，由①知，即，当时，，……16分所以，时，恒成立，即恒成立．……17分