赤峰市高三年级11·20模拟考试试题数学2024.11本试卷共6页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.已知，是两个实数，，，则是的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.结合不等式的性质，下列说法中正确的是A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3.已知，，，则的最小值为A. B. C. D.4.已知，，则的值为A.－2 B.2 C.－3 D.35.已知集合，集合，集合，则以下元素属于集合的是A. B. C. D.6.已知，，，则，，的大小关系是A. B. C. D.7.已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是A. B. C. D.8.在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是A. B. C. D.10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则A.当时， B.C.函数是堵函数 D.函数的值域为11.已知函数的周期为，且满足，则下列说法正确的是A.在区间上单调递减B.直线是函数图象的对称轴C.在区间上有两个对称中心D.若在区间上有2024个根，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.12.已知函数，则不等式的解集是________.13.函数在上的导数为，若，且，则________.14.在半径为1，圆心角为的扇形中，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，则矩形面积的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知，，分别为三个内角，，的对边，.（1）求；（2）若，的面积为，求，.16.（本小题满分15分）已知幂函数的图象过点，.（1）求的解析式；（2）记，在区间上的值域分别为，，若是的必要条件，求实数的取值范围；（3）设，对，使得成立，求正实数的最小值.17.（本小题满分15分）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点为图象上的最高点，点，为图象与轴的两个相邻交点，且是边长为4的正三角形.（1）求与的值；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若，，求的值.18.（本小题满分17分）某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形的周长为8cm，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点.图1图2（1）用表示图1中的面积：（2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用.19.（本小题满分17分）2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度.如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数）（1）求函数在点处的曲率；（2）已知函数，求函数的曲率的最大值.（3）设函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：.赤峰市2024年高三11·20模拟测试参考答案与评分细则题号12345678答案BCDACABC题号91011答案ABDADACD12.13.202514.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【详解答案】（1）由正弦定理可将化为，其中， …………（2分）可得， …………（4分）在中，，可得，由辅助角公式可得， （6分）可得. …………（7分）（2）的面积为，可得， …………（9分）由余弦定理，可得， …………（11分）综上，或，. …………（13分）16.【详解答案】（1）设幂函数，由题意，即，即函数的解析式为. …………（2分）（2）由题意在区间上的值域为， …………（3分）而函数区间上的值域为， …………（4分）由是的必要条件可知， …………（6分）即且，解得. …………（8分）（3）由题意， …………（9分）对，使得成立，可得， …………（11分）在区间上，的最大值为， …………（12分）在区间上，的最大值为， …………（13分）令，可得，解得（舍）或，即，即正实数的最小值为1. …………（15分）17.【详解答案】（1）由已知可得， …………（3分）由题图可知，正三角形的高即为函数的最大值，则. …………（6分）（2）由（1）可知，由函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标变为原来的，得图象可知：， …………（10分）由得，， …………（11分）由得，，从而， …………（13分）故. …………（15分）18.【详解答案】（1）因为，所以，又因为为较长边，所以，即. …………（3分）设，则因为，，所以，所以， …………（5分）在中，由勾股定理得，即，解得， …………（7分）所以， …………（8分）所以的面积（单位：） …………（10分）（2）设一枚徽章的镀金费用为元，则 …………（13分）由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立， …………（15分）所以当时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为元. …………（17分）19.【详解答案】（1），，，，，（2分）所以函数在点处的曲率为. …………（3分）（2），，，由定义知为非负数，由题意得，，，， …………（5分）令，，令， …………（6分）则在上恒成立， …………（8分）在上单调递增，即，，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为. …………（9分）（3）证明：由题意可得，，若曲率为0，则，即，即， …………（10分）令，则，得， …………（11分）所以在上，，单调递增，且；在上，，单调递减，且.又，所以有两个解.设为，，， …………（13分）又，所以，可设，，所以，，，化简可得，则. …………（15分）要证，即证，需要证，即证， …………（16分）令，所以在上单调递增，所以，得证. …………（17分）