北辰区2025届高三第一次联考试卷数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，20小题.试卷满分150分，考试用时120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.第Ⅰ卷（选择题共45分）一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.2.设，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.在下列各图中，两个变量具有线性相关关系的图是（）A. B.C. D.4.在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（）A.北偏西 B.北偏东C.北偏西 D.南偏西5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.6.设，，，则（）A. B.C. D.7.已知三棱锥外接球的球心在线段上，若与均为面积是的等边三角形，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.8.函数，则下列结论正确有（）①函数的最大值为；②函数的一个对称中心为；③函数在上单调递减；④，将图象向右平移单位，再向下平移个单位可得到的图象.A.①③ B.①④ C.②③ D.③④9.已知函数，，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是（）A B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.已知复数（其中为虚数单位），则______.11.展开式中的系数为______.12.已知圆心在轴上的圆与倾斜角为的直线相切于点则圆的方程为______.13.，，若是与的等比中项，则的最小值是______.14.天津是一个历史悠久的文化古都，盘山，石家大院，古文化街，鼓楼这四个景点又是天津十分有名的旅游胜地.已知某游客游览盘山的概率为，游览石家大院，古文化街，鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客只游览一个景点的概率为______；该游客至少游览三个景点的概率为______15.如图，平行四边形中，，为中点，为线段上一点，且满足，则______；若的面积为，则的最小值为______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.已知的内角，，，的对边分别为，，，满足（1）求角的大小；（2）若，，求边的值；（3）若，求值.17.如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.（1）求证：平面；（2）求点到直线的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值18.已知等差数列的前n项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，．（1）求数列和的通项公式；（2）令，求数列的前n项和；（3）令，数列的前n项和，求证：．19.已知椭圆：（）的一个焦点为，其短轴长是焦距的倍，点为椭圆上任意一点，且的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点.问：轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数，（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当函数有两个极值点且.证明：.