固镇县毛钽厂实验中学2024~2025学年高三11月月考数学考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3本卷命题范围：集合与常用逻辑用语､不等式､函数､一元函数的导数及其应用､三角函数､平面向量､数列（数列的概念､等差数列）.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则中元素的个数为（）A.9 B.8 C.5 D.4【答案】B【解析】【分析】利用列举法表示出集合A，再求出并集即可得解.【详解】依题意，解不等式，得，，而，因此，所以中元素的个数为8．故选：B2.等差数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式可得与，进而可得解.【详解】设等差数列的公差为，则，则，解得，则，所以，故选：A.3.函数在区间上的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】由于，所以，故，当且仅当，即时取等号，故函数的最小值为5.故选：D.4.已知，则（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】运用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数关系式中商关系进行求解即可.【详解】由，由，可得，所以.故选：C5.在中，若，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解.【详解】由，得，化简得，当时，即，则为直角三角形；当时，得，则为等腰三角形；综上：为等腰或直角三角形，故D正确.故选：D.6.如图，在正八边形中，，则（ ）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出向量的坐标运算得解.【详解】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图.设正八边形的边长为1，可得，，，，所以，，.因为，所以，所以，解得，则.故选：D.7.已知函数，其中，若在区间内恰有两个极值点，且，则实数的取值集合是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题干先求出的范围，进而求出的范围，再根据得出函数的图象关于点中心对称，最后根据图像的对称中心得出结论.【详解】由题意知，函数在内有两个极值点，设两个极值点分别为，则，则（为函数的最小正周期），解得.又，所以，由，得函数的图象关于点中心对称，即，即，由，得，即的取值集合为.故选：B8已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，化简得到，构造函数，利用导数求得在上单调递减，得到，再由，得到，即可求解.【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得，构造函数，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，故，即，又由，而，其中且，所以，即，因为，所以，所以，所以.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列说法错误的是（）A.B.若，则的值为C.若，则的值为D.若，则与的夹角为锐角【答案】BCD【解析】【分析】根据平面向量的模公式、垂直向量、共线向量的性质，结合平面向量夹角公式进行逐一判断即可.【详解】对于A，因为，故A正确；对于B，因为，所以，故B不正确；对于C，因为，所以，故C不正确；对于D，当时，，所以，故D不正确.故选：BCD.10.朱世杰（1249年—1314年），字汉卿，号松庭，元代数学家､教育家，毕生从事数学教育，有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉.他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作，该书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，每面底子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛从上往下看的示意图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层的果子数分别为，共有44层，问全垛共有多少个果子？现有一个层三角锥垛，设从顶层向下数，每层的果子数组成数列，其前项和为，则下列结论正确的是（）（参考公式：）A.B.是等差数列C.函数单调递增D.原书中该“堆垛问题”的结果为15080【答案】BC【解析】【分析】根据三角锥垛层的果子数可以观察得数列的通项公式，求和即可.【详解】对于A，每层的果子数分别为，构成数列，则易知，故A错误；对于B，时，，故为等差数列，故B正确；对于C，，则，故单调递增，C正确；对于D，，故D错误.故选：BC.11.设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（）A.为偶函数 B.的图象关于原点对称C. D.的极小值为3【答案】AB【解析】【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解.【详解】因为的图象关于对称，所以，即，则为偶函数，故A正确；由得，，两边取导数得，，即，所以，则是奇函数，所以图象关于点原点对称，故B正确；由上可知，，又由得，所以，则，所以有，即函数是一个周期函数且周期为8；又由，令得，，则，故C错误；由在上单调递减，又的图象关于点对称可知，在上单调递减，所以在上单调递减，又的图象关于对称，所以在上单调递增，由周期性可知，在上单调递增，所以当时，取得极小值，即，故D错误，故选：AB.【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若，则函数关于中心对称；（2）若，则函数关于对称；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知扇形的半径为，圆心角为，若，则该扇形的面积为__________.【答案】或【解析】【分析】根据余弦值确定圆心角，再根据扇形面积公式可得解.【详解】，，或，该扇形的面积或，故答案为：或.13.已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由等差数列前项和公式求得公差，再由得到求解即可.【详解】设公差为，由得，则.由得即解得.故答案为：14.若对任意，不等式恒成立，则实数的值是__________.【答案】【解析】【分析】不等式转化成，结合和在0,+∞上的单调性即可求解.【详解】因为x∈0,+∞，所以恒成立，即恒成立，因为在0,+∞上单调递减，在0,+∞上单调递增，若要满足不等式恒成立，则必须两函数图象交于轴正半轴上一点（否则必存在，使），所以当，即且时，原不等式恒成立，所以（负值舍去）.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知、、为的三个内角，向量与共线，且.（1）求角的大小；（2）求函数值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为，计算出角取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】（1）由已知条件可得，即，可得，即，，则，，则，所以，，故；（2），因为，则，所以，，则.所以，【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.16.已知数列的前项和为且.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前90项的和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由，可得，两式相减化简可得，即可的证；（2）由（1）得，讨论可得，或，则得的前90项的和为又，计算可得答案.【小问1详解】因为，所以，两式相减得，则，因为，，所以，数列是公差为2，首项为1的等差数列.【小问2详解】由（1）得，当或时，，当或时，，所以数列的前90项的和为，因为，则上式.17.如图，在四边形中．，，，平分且与相交于点．（1）若的面积为，求；（2）若，求与的面积之比．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，明确，，，利用余弦定理可求.（2）在中，先用正弦定理求出，求出的面积，进一步求出的面积，即可求与的面积之比.【小问1详解】在中，，，.所以.在中，，，.所以，.在中，，，，由得：，由余弦定理，得：所以.【小问2详解】因为.在中，，，，所以.由正弦定理，得：.所以.所以.所以.18.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，然后根据和分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间；（2）根据（1）的结论知，令得，结合对数运算累加法即可证明.【小问1详解】的定义域为.，①当时，在上单调递增；②当时，时，在上是增函数．时，在上是减函数，时，在上是增函数.【小问2详解】由（1）得，当时，，在0,3上是减函数，即当时，，所以，令得，，即，所以，得证.19.对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可证明；（2）根据“同比不减函数”的定义，恒成立，分离参数，构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数解析式，根据“同比不减函数”的定义，取，因为成立，求出的范围，然后证明对任意的，恒成立，即可求出结论.【详解】证明：（1）任取正常数，存在，所以，因为，即不恒成立，所以不是“同比不减函数”.（2）因为函数“同比不减函数”，所以恒成立，即恒成立，对一切成立.所以.（3）设函数是“同比不减函数”，，当时，因为成立，所以，所以，而另一方面，若，（Ⅰ）当时，因为，所以，所以有成立.（Ⅱ）当x∈−1,+∞时，因为，所以，即成立.综上，恒有有成立，所以的取值范围是.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.