2024—2025学年度第一学期学情调研高一数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.下列图象中可作为函数图象的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义即可判断.【详解】根据函数的定义，对于ABD中存在一个的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象，C符合函数定义．故选：C.2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出不等式，根据交集含义即可.【详解】，,则.故选：B.3.已知，则下列不等式中一定成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】赋值法可判断AD；利用不等式性质可判断B，作差法比较数的大小判断C.【详解】对于A，，但，故A错误；对于B，由，可得，不等式两边同乘以，得，即，故B错误；对于C，，因为，，所以，故C正确；对于D，，当时，，故D错误.故选：C.4.已知，则“a，b都是偶数”是“是偶数”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】充分性成立，但必要性可举出反例，得到答案.【详解】a，b都是偶数，则是偶数，充分性成立，但是偶数，a，b都是奇数或都是偶数，必要性不成立，故“a，b都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件.故选：A5.已知集合，，且，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求得集合，进而求得，由，可求实数m的取值范围.【详解】由，解得或，所以或，，又，，所以，所以实数m的取值范围是.故选：B.6.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】AB选项，代入和计算出AB错误；CD选项，换元法得到函数解析式.【详解】A选项，当得，A错误；B选项，当得，B错误；CD选项，令得，，故，故，C错误，D正确.故选：D7.若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】分析】分，两种情况求解即可.【详解】当时，不等式为显然不成立，故，当时，命题“，”为真命题，只需，解得或，又，实数的取值范围是或.故选：C.8.已知x，y是正实数，且，则下列说法正确的是（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为4 D.的最大值为【答案】D【解析】【分析】A选项，由基本不等式直接求解，得到；B选项，根据x，y是正实数，且推出，B错误；C选项，变形后，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，先根据条件求出，从而，得到D正确.【详解】A选项，x，y是正实数，由基本不等式得，即，解得，当且仅当，即时，等号成立，A错误；B选项，由x，y是正实数，且，故，而，故的最小值不可能为，B错误；C选项，因为，所以，其中，当且仅当，即时，等号取到，则，C错误；D选项，因为x，y是正实数，，所以，解得，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D正确.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列各组函数表示同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.，【答案】BC【解析】【分析】先求得函数的定义域，根据同一函数的概念，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A，定义域为，定义域为，A错误；对于B，定义域为，定义域为，且对应法则相同，B正确；对于C，，，定义域均为，且对应法则相同，为同一个函数，C正确．对于D，定义域为，的定义域为0,+∞，D错误；故选：BC．10.下列说法正确的是（）A.全集为，若，则B.命题“，”为真命题C.若，，且，则实数a的取值集合为D.关于x的方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据补集的含义判断即可；对于B，配方即可判断真假；对于C，由题意可知，给出作为反例即可；对于D，依题意可知命题的充要条件是且.【详解】对于A，全集为，若A⊆B,则，故A正确；对于B，因为，所以命题“”为真命题，故B正确；对于C，因为当时，有，所以.所以实数的取值集合必定包含，故C错误；对于D，若关于的方程有一个正实数根和一个负实数根，则；若，则方程有一个实数根3+9-4a2>0和一个实数根.故D正确.故选：ABD.11.已知函数，下列说法正确的是（）A.若关于的不等式的解集是或，则B.若集合有且仅有两个子集，则的最大值为C.若，则的最大值为D.若，且关于x的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项，根据一元二次不等式解集与方程根的关系来确定参数的值，再验证等式.对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，得到方程有一个根，借助根的判别式，得到，关系式，化简式子，再求最值即可.对于C选项，先根据已知条件得到与的关系，再利用换元数学方法，结合基本不等式求式子的最大值.对于D选项，根据不等式的解集以及已知条件确定的取值范围.【详解】对于A选项，因为关于不等式的解集是或，则和是两根.由韦达定理，，解得，则，所以A选项正确.对于B选项，运用集合有且仅有两个子集，则方程有一个根，所以判别式，即，可得.把代入得：所以当时，取得最大值.所以B选项错误.对于C选项，若，则，即.令，则.所以.令，则.对求最大值，.根据均值不等式，当且仅当时取等号.所以，所以C选项正确.对于D选项，当时，.因为不等式的解集中有且仅有三个正整数，令，则的解集中有且仅有三个正整数.由二次函数对称轴，且，，，.要使的解集中有且仅有三个正整数，，，则，即，解得，所以D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.命题“，”的否定为______.【答案】，【解析】【分析】利用全称量词命题的否定求解.【详解】由于全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定为“，”.故答案为：，13.已知，，则_________.（结果用a，b表示）【答案】【解析】【分析】利用换底公式和对数运算性质即可.【详解】.故答案为：.14.设集合的所有非空子集为，其中.设中所有元素之和为，则_________.【答案】【解析】【分析】利用集合中的每一个元素出现在非空子集中的次数为次，可求结果.【详解】集合中的每一个元素出现在非空子集中的次数为次，所以.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设全集为实数集，集合，.（1）当时，求，；（2）若命题：，命题：，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）求得集合，进而可求得，；（2）根据给定条件可得，且，求解即可.【小问1详解】由，得，解得，所以，当时，，所以，因为或，所以或，【小问2详解】由（1）知，，因为是的充分不必要条件，所以，且，解得.16.（1）计算（2）计算.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用指数与对数的运算法则计算即可.【详解】（1）原式.（2）原式.17.某企业生产某款网红玩具，该企业每售出x（单位：千件）此款玩具的销售额为（单位：千元），，且生产成本总投入为（单位：千元）.经市场调研分析，该款玩具投放市场后可以全部销售完.（1）求该企业生产销售该款玩具的利润y（千元）关于产量x（千件）的函数关系式?（2）当产量为多少千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大?【答案】（1）（2）当产量为11千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大【解析】【分析】（1）根据利润公式，写成分段函数的解析式；（2）根据（1）的结果，结合函数的单调性与基本不等式可求函数的最大值.【小问1详解】由题意，当时，，当时，，综上：，【小问2详解】当时，，当时，，当时，，因为，所以，，当且仅当即时，等号成立，综上当时，y取最大值120，所以当产量为11千件时，该企业在生产销售该款玩具中所获得的利润最大.18.已知函数.（1）当时，求解关于的不等式；（2）若不等式对于任意的上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）分，，三种情况解不等式即可；（2）由题意可得对于任意的恒成立，分类讨论可求得实数的取值范围.【小问1详解】因为所以或1①当即时，原不等式可化为，所以；②当即时，所以或；③当即时，所以或；综上：当时，原不等式的解集为或.当时，原不等式的解集为或.【小问2详解】，即对于任意的恒成立令，，①当时，，，所以不符合题意；②当时，无最小值，所以不符合题意；③当时，的对称轴为当，即时，得最小值为所以，又因为，不符合题意；当，即时，得最小值为，所以，又因为，所以符合题意；综上实数的取值范围是.19.对于函数，若，则称实数x为的“不动点”.若，则称实数为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B，即，.（1）已知函数，分别求出对应的集合A和B；（2）已知函数（m为实数），，求实数m的值及对应的集合B；（3）已知函数（n为实数），若，求实数n的取值范围.【答案】（1），（2），（3）【解析】【分析】运用函数的“不动点”和“稳定点”的定义，结合一元二次方程的解法逐个计算即可.【小问1详解】令，则，所以；令，则，所以；【小问2详解】因为，所以方程有两个不等实数根为-1或2，即方程有两个不等实数根-1或2，所以.令整理得即所以解得或2或或，所以集合.【小问3详解】由题意得（1），（2）（2）-（1）得即所以因为，所以方程无实数根或有和方程一样的实数根方程的为①若则方程无实数根，可得所以符合题意②若可得，则有根，且方程也有解，它们的解集相等，不失一般性，设其中一个根为.所以，，解得，此时.综上：实数的取值范围是.