2023级“贵百河—武鸣高中”11月高二年级新高考月考测试数学参考答案一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1.已知直线l过原点且与直线7x+3y−1=0垂直，求直线l一个方向向量是（）A.(−7，3)B.(3，−7)C.(3，7)D.(7，3)解：由题可知，直线l过原点(0，0)与直线7x+3y−1=0垂直，则直线l的斜率为37，所以直线l的方程为3x−7y=0，故其中一个方向向量n=(7，3).【答案】D2.设向量a=(3,2,m)，b=(−1,2,1)，若a⊥b，则m=（   ）A．2 B．1 C．−1 D．−2【答案】C【详解】因为a⊥b，可得a∙b=−3+4+m=0,解之可得m=−1.故选：C3.已知点A(2,−1,0)，B(1,−1,−1)，向量a=(12,1,1)，求向量BA与a夹角的余弦值（）A.−2B.22C.12D.−22解：由题可知点BA=(1,0,1)，所以cos=BA∙aBA∙a=12+12×94=22，故选B.4.设直线的方程为3cosθ∙x−y+7=0θ∈R，则直线l的倾斜角α的取值范围（）A.0，π3B.π3，2π3C.−∞，π3∪2π3，πD.0，π3∪2π3，π解：根据题意，直线的斜率为k=3cosθ∈−3,3，由此得tanα∈−3,3；又因为α∈0，π，所以结合正切函数的单调性，可得α∈0，π3∪2π3，π,故选D．5.2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号A(01)、B(01)、B(02)卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。该卫星主要用于地面雷达设备标校和RCS测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务。假设天平三号A(01)卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米,求天平三号A(01)卫星运行的轨迹方程可为（）A.x29+y28=1B.x29+y216=1C.x21.352+y23.352=1D.x23.52+y21.22=1解：根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c；由题可知，1.35+1.3+3.35=2a，则a=3万千米；因为天平三号A(01)卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为r=0.65万千米，因此a−c=2,则c=1万千米；因此b2=a2−c2=32−12=8；所以椭圆的方程为x29+y28=1.答案：A.6.如右图，在直三棱柱ABC−A'B'C'中，∠ABC=90°，AB=BC=BB'=1，E、F分别为A'B'，AB的中点，则直线FC到平面AEC'的距离为（）A.22B.66C.−66D.−32解：在直三棱柱ABC−A'B'C'中，∠ABC=90°，如图所示，建立空间直角坐标系，因为AB=BC=BB'=1，E、F分别为A'B'，AB的中点，则A(0,1,1)，B(0,0,1)，E(0,12,0)，F(0,12,1)，C'(1,0,0)，所以AE=(0,−12,−1)，EC'=(1,−12,0)，AF=(0,−12,0)设平面AEC'的法向量为n=(x,y,z)，则n∙AE=0；n∙EC'=0.即−12y−z=0；x−12y=0.取z=−1，则y=2，x=1.所以n=(1,2,−1)是平面AEC'的一个法向量.又因为AF=(0,−12,0)，所以点F到平面AEC'的距离为AF∙nn=0+(−1)+06=66.答案：B.7.若双曲线y2n2−x22=1(n>0)的渐近线与已知圆O:x2+y2−4y+3=0相切，则n=（）A．6 B．3 C．2 D．1【答案】A双曲线y2n2−x22=1(n>0)的渐近线为y=±nx2，即nx±2y=0，不妨取nx+2y=0，圆x2+y2−4y+3=0，即x2+y−22=1，所以圆心为0,2，半径r=1，依题意圆心0,2到渐近线nx±2y=0的距离d=22n2+2=1，解得n=6或n=−6（舍去）．故答案为：n=6.8.设λ∈R，过定点M的动直线λx+y=0和过定点N的动直线x−λy+λ+3=0交于点Q(x，y)，则QM+QN的最大值是（   ）A．5 B．25 C．10 D．210【答案】B【详解】对于动直线λx+y=0可知其过定点M(0，0)，动直线x−λy+λ+3=0，即x+3−λ(y−1)=0，可知其过定点N(−3，1)，且1×λ+λ×(−1)=0，因此两条动直线相互垂直，可知点Q的轨迹是以MN为直径的圆，且MN=10，若点Q与M或N重合，则QN+QM=0+MN=10；若点Q与M，N不重合，设∠QMN=θ∈(0,π2)，则QM=10cosθ,QN=10sinθ,可得QM+QN=10cosθ+10sinθ=25sin(θ+π4)，因为θ∈(0,π2)，则θ+π4∈(π4,3π4),可得sin(θ+π4)∈(22,1],所以当sin(θ+π4)=1时，QM+QN有最大值，即最大值为25.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．直线的方向向量为a，平面α的法向量n，则下列命题为真命题的是（）A．若a⊥n，则直线l//平面αB．若a//n，则直线l⊥平面αC．若cos=12，则直线与平面所成角的大小为π3D．若sin=12，则直线与平面所成角的大小为π3【答案】BD【详解】对于A，若a⊥n，则l//平面α或l⊂平面α，A错；对于B，若a//n，则l⊥平面α，B对；对于C，若cos=12，则直线l与平面α所成角的大小为π6，C错；对于D，若sin=12，则cos=32，则平则直线l与平面α所成角的大小为π3，D对.已知圆C:(x−2)2+(y−1)2=36，直线2x+(m+1)y−3m+1=0，则（）A．当m=1时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1B．圆C与圆x2+y2+12x+10y+45=0恰有三条公切线C．直线l恒过定点(−2，3)D．直线l与圆C有两个交点【答案】BCD【详解】对于A，当m=1时，直线l:x+y−1=0，圆心C(2，1)到直线l的距离为d=2+1−12=2，而圆C半径为6，因此只有4个点到直线l的距离等于1，A错误；对于B，圆x2+y2+12x+10y+45=0的方程化为(x+6)2+(y+5)2=16，其圆心为(−6，−5)，半径为4，两圆的圆心距为d'=(2+6)2+(1+5)2=10=6+4，两圆外切，因此它们有三条公切线，B正确.对于C，直线l的方程为2x+y+1+m(y−3)=0，由y−3=02x+y+1，x=−2y=3，直线l恒过定点(−2，3)，C正确；对于D，(−2−2)2+(3−1)2=20<36，即定点(−2，3)在圆C内，则直线l与圆C相交且有两个交点，D正确；11．已知方程mx2+y2=1表示的曲线为E，则（    ）A．当01时，曲线E为焦点在x轴上的椭圆C．当−11，曲线E为焦点在x轴上的椭圆，故A正确；对于B，根据题意知mx2+y2=1，可化为x21m+y2=1，当m>1时，0<1m<1，曲线E为焦点在y轴上的椭圆，故B错误；对于C，根据题意知mx2+y2=1，可化为y2−x2−1m=1，当−11，曲线E为焦点在y轴上的双曲线，故C正确；对于D，根据题意知mx2+y2=1，可化为y2−x2−1m=1，当m<−1时，则0<−1m<1，曲线E为焦点在y轴上的双曲线，故D正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线y=−3x−1交于A，B两点，则抛物线的方程为____．答案：y2=4x.【详解】直线y=−3x−1过点1,0，所以抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F1,0，所以p2=1,p=2，2p=4，故抛物线的方程为y2=4x.13.如图，已知E、F分别是四面体ABCD的棱AD、BC的中点，点G在线段EF上，且EG=2GF，设向量AB=a，AC=b，AD=c，则AG=(用{a,b,c}表示)【答案】13a+13b+16c．【详解】AG=AF+FG，AF=12(AB+AC)，FG=13FE，FE=AE−AF，AE=12AD．∴AG=AF+FG=AF+13FE=AF+13(AE−AF)=23AF+13AE=23×12(AB+AC)+13×12AD=13AB+13AC+16AD=13a+13b+16c．14.已知点A−1,0,B3,0，若圆x−m−12+y−m+22=1上存在点P满足PA⋅PB=5，则实数m的取值范围是.【答案】1−7≤m≤0或2≤m≤1+7.【详解】设Px,y，则PA=−1−x,−y，PB=3−x,−y，故PA⋅PB=5即为x2+y2−2x−3=5即(x−1)2+y2=9，因为P也在圆x−m−12+y−m+22=1上，故3−12≤m2+m−22≤3+12，整理得到：m2−2m≥0m2−2m−6≤0，解得1−7≤m≤0或2≤m≤1+7.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）2024年7月11日是郑和下西洋620周年纪念日，也是第20个中国航天日。设立“航第15题图 海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建 设航天强国和海洋强国的目的，有着十分深远的战略意义。 在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域航行的安全， 我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿O正西与正北两个方 向，分别设立了观测站A、B，它们与南沙群岛中心岛屿O 的距离分别为15海里和a(a>0）海里。某时段，为了检 测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船M，始终要求巡视行驶过程中观察船M 的位置到观测站A的距离与南沙群岛中心岛屿O的距离之商为4. （1）求小船M的运动轨迹方程； （2）为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站A出发，往观测站B方向直线 行驶，规定巡艇不进入预警区，求a的取值范围.【详解】（1）根据已知条件设以O为坐标原点，AO，OB为x,y轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据已知条件设Mx,y且A(−15，0)，O(0，0)，由MAMO=4有(x+15)2+y2=4x2+y2，(x+15)2+y2=16(x2+y2)，=x2+30x+225+y2=16x2+16y2；∴15x2+15y2−30x−225=0,即x2+y2−2x−15=0，整理得(x−1)2+y2=16，它是以(1，0)为圆心，4为半径的圆．所以小船M的运动的轨迹方程为：(x−1)2+y2=16．（2）由（1）可知A(−15，0)，B(0，a)过AB的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，所以直线AB截距式方程为x−15+ya=1(a>0)，化为一般式方程为ax−15y+15a=0(a>0)，根据题意，a−0+15aa2+152>4，解得a>15，所以综上可知a的取值范围为a>15．16.（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一点. （1）若焦距为42，点P的坐标为（−3，1)，求椭圆C的标准方程； （2）若∠F1PF2=π3且，长轴长为26，∆F1PF2的面积为32，求b的值.【详解】（1）已知F1F2=42，因为F1F2=2c，所以c=22.点P(−3，1)在椭圆上，将其带入椭圆的x2a2+y2b2=1(a>b>0)，可得(−3)2