内江市高中2025届第一次模拟考试题数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级用签字笔填写在答题卡相应位置．2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试题卷上．3．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上．4．考试结束后，监考人员将答题卡收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数的对应点坐标为，则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的几何意义可知，再根据复数的乘法以及共轭复数的定义分析判断.【详解】因为复数的对应点坐标为，则，可得，所以的共轭复数为.故选：A.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合、，再利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，所以，.故选：D.3.已知两个向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直可得，再结合向量的坐标运算求解即可.【详解】因为，则，即，又因为，，则，解得.故选：C.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义研究条件的充分性和必要性.【详解】若，假设，则由可知，矛盾，所以，这表明条件是必要的；对，有，，这表明条件不是充分的.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得的值.【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，则，，，由全概率公式可得.所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为.故选：B.6.函数的部分图象如图所示，若、，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出的值，代值计算可得出的值.【详解】由图可知，函数的最小正周期为，则，所以，，因为，且函数在附近单调递减，所以，，解得，又因为，所以，，则，因为，可得，所以，，因为、，则，，因为，则，所以，，故.故选：C.7.年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设原有树苗有包，求出第组到第组所领取树苗的包数，结合等比数列求和公式可得出关于的等式，解之即可.【详解】设原有树苗有包，第组领取包，第组领取包，第组领取包，，以此类推可知，第组领取包，由题意可得，即，解得.故选：B8.已知为常数，函数有两个极值点、，且，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】由可得出，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合得出，计算得出，，构造函数，其中，利用导数求该函数的值域，即可得出合适的选项.【详解】因为，该函数的定义域为，，由题意可知，、为方程的两根，由可得，令，其中，由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，，由可得，由可得，所以，函数的增区间为，减区间为0,+∞，故，且当时，gx<0，当时，gx>0，如下图所示：由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，且，由题意可得，所以，，，令，其中，则，所以，函数在0,+∞上单调递增，则，即，故选：A.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于确定、的取值范围，再结合极值点所满足的条件消去参数，进而转化为构造函数求值域的问题.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记随机事件“点数为”，其中，则下列论述正确的是（）A.B.若“点数大于”，则C.若连续抛掷骰子次，记“点数之和为”，则D.若重复抛掷骰子，则事件发生的频率等于事件发生的概率【答案】AC【解析】【分析】分析可知，，可判断A选项；利用对立事件的概率公式可判断B选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项；利用频率与概率的关系可判断D选项.【详解】对于A选项，，则，A对；对于B选项，若“点数大于”，则，B错；对于C选项，若连续抛掷骰子次，记“点数之和为”，基本事件总数为，若抛掷骰子，第一次向上的点数为，第二次向上的点数为，以作为一个基本事件，则事件包含的基本事件有：、、，共个基本事件，由古典概型的概率公式可得，C对；对于D选项，若重复抛掷骰子，则事件发生的频率在事件发生的概率值附近波动，D错.故选：AC.10.已知，则下列不等关系正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用正切函数的基本性质可判断A选项；推导出，结合函数的单调性可判断B选项；利用函数在上的单调性可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，因，则，所以，，故，A对；对于B选项，因为，则，所以，，因为函数在上为增函数，所以，，即，B对；对于C选项，构造函数，其中，则，所以，函数在上为增函数，所以，，即，即，故，C对；对于D选项，因为，所以，，D错.故选：ABC.11.给定函数，．分别用、表示、中的最小者、最大者，记为,．下列说法正确的是（）A.B.当直线与曲线有三个不同交点时，C.当时，曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个交点D.函数的值域为【答案】ACD【解析】【分析】求出函数、的解析式，可判断A选项；数形结合可判断B选项；求出切线方程，将切线方程与函数的解析式联立，求出交点个数，可判断C选项；化简函数的解析式，并求其值域，可判断D选项.【详解】函数、的定义域均为，且，所以，，，对于A选项，当时，，则，此时，，当时，，则，此时，，A对；对于B选项，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，B错；对于C选项，当时，，则，因为，则，所以，曲线在点处的切线方程为，即，当时，由，整理可得，可得（舍去），当时，由可得，解得或（舍去），综上所述，当时，曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个交点，C对；对于D选项，当时，，当时，.综上所述，函数的值域为，D对.故选：ACD.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中，常数项为___________.【答案】【解析】【分析】先求出通项，然后令的指数为零即可．【详解】解：由题意得：，令得，故常数项为．故答案为：．13.在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为______．【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，即可得解.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，在平行四边形中，已知，，，点在边上，，则、、、，则，，所以，.故答案为：.14.已知函数（，且）的图象无限接近直线但又不与该直线相交，且在上单调递增，请写出一个满足条件的的解析式______．【答案】（答案不唯一，满足且均可）【解析】【分析】根据复合函数单调性结合指数函数单调性分析可知，再结合指数函数值域可得，即可得结果.【详解】当时，在0,+∞上单调递增，当时，在上单调递减，且在R上单调递减，可知在0,+∞上单调递减，在上单调递增，则，若在0,+∞上单调递增，则，可得，若函数图象无限接近直线但又不与该直线相交，可知，综上所述：且.例如，可得.故答案为：（答案不唯一，满足且均可）.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，，，分别为内角所对的边，且满足．（1）求；（2）若，求周长的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解即可；（2）利用余弦定理可得，再结合不等式可得，即可得结果.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，且，即，又因为，则，可得，即，所以.【小问2详解】由余弦定理可得：，即，可得，又因为，可得，即，当且仅当时，等号成立，所以周长的最大值为.16.已知数列、满足，，，，其中、、．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可得对任意，，利用前项和与通项的关系可求得数列的通项公式；（2）由题意得出，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式，利用裂项求和法可求得.【小问1详解】由题意可知，对任意的，，当时，由，可得，上述两个等式作差可得，可得，也满足，故对任意的，.【小问2详解】由题意可知，，所以，.所以，，所以，.17.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求实数取值范围．【答案】（1）答案见详解（2）【解析】【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数的符号判断原函数单调性；（2）由题意可得：，分和两种情况，结合（1）中单调性分析求解即可.【小问1详解】由题意可知：的定义域为，且，若，则f′x<0，可知在内单调递减；若，令f′x<0，解得；令f′x>0，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；综上所述：若，在内单调递减；若，在内单调递减，在内单调递增.【小问2详解】因为恒成立，则，若，由（1）可知：在内单调递减，且当趋近于时，趋近于，不合题意；若，由可得，由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增，则，若，则，可得，符合题意；综上所述：实数的取值范围为1,+∞.18.某市为全面提高青少年健康素养水平，举办了一次“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛．已知共有名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：（1）规定预赛成绩不低于分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于分的学生中随机地抽取人，求至少有人预赛成绩优良的概率；（2）由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩近似服从正态分布，其中可近似为样本中的名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？（3）复赛规则如下：①复赛题目由、两类问题组成，答对类问题得分，不答或答错得分；答对类问题得分，不答或答错得分；②、两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题．已知参加复赛的学生甲答对类问题的概率为，答对类问题的概率为，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关．为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由．附：若，则，，；．【答案】（1）（2）有，理由见解析（3）先答类问题，理由见解析【解析】【分析】（1）计算出预赛成绩不低于分的人数和预赛成绩不低于分的学生人数，利用组合计数原理结合古典概型、对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）计算出、的值，可得出，计算出的值，与比大小，