深圳市高级中学2025届高三第二次诊断考试数学2024.11（本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.直线的倾斜角为，则（）A.B.C.D.3.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（）A.B.C.D.4.已知公差不为0的等差数列中，且，则（）A.30B.C.D.405.已知，则（）A.B.3C.D.46.在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为（）A.B.C.D.7.已知都是正实数，，则的最小值为（）A.2B.C.D.8.已知函数的定义域为为奇函数，，则（）A.为奇函数B.的图象关于直线对称C.的最小正周期为4D.的图象关于点对称二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正方体棱长为1，下列结论正确的是（）A.直线与所成角为B.直线到平面的距离是C.点到直线的距离为D.平面与平面所成角的余弦值为10.已知为等差数列，为等比数列，的公差为的公比为，，下列结论正确的是（）A.若，则为递增数列B.若，则为递减数列C.若，则为递增数列D.若，则为递增数列11.在锐角三角形中，外接圆的半径为，则（）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，为虚数单位，则__________.13.是等比数列的前项和，已知，则__________.14.在三棱锥中，与中点分别为，点为中点.若在上满足在上满足，平面交于点，且，则__________.四､解答题：本大题共小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）记的内角所对的边分别是的面积为.若，（1）求；（2）若，求的值.16.（15分）我们知道关于的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如表示的就是和两条直线.（1）求方程表示的直线与轴围成的面积；（2）若方程表示的是两条直线，求.17.（15分）四棱锥中，底面为正方形，为锐角.（1）求证：平面平面；（2）若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知函数有两个零点，（1）求的单调区间和极值；（2）当时，恒成立，求实数的最小值；（3）证明：.19.（17分）设集合，对于集合到集合的函数，记其中满足的函数为“回函数”.对于任意给定的集合，“回函数”的个数记为.数列的第项为.例如，“回函数”仅有一个，即，满足，所以，“回函数”有两个，即和，这两个函数都能满足，所以.（1）求；（2）当时，给出和之间的关系式并证明；（3）证明：时，.深圳市高级中学2025届高三第二次诊断考试数学参考答案1DACCAACD9.BCD10.AC11.AC12.113.或14.14.解答：在平面上，使得，其中，得15.（1）得，得（2）16.（1）表示的直线为和，联立，得两直线交点为，两直线与轴交点分别为和两直线与轴围成的三角形面积为（2）若方程表示两条直线，则该方程必能表示为两个二元一次方程的乘积，则，解得17（1）四边形为正方形，又，且平面平面平面平面（2）以为原点分别为轴，过作平面的垂线，以该垂线为轴由（1）可知轴在平面内由题意可得易知平面的法向量为，得，解得或为锐角，，设平面的法向量为，得，取，得易得平面的法向量为，设平面与平面夹角为，则.综上，平面与平面夹角的余弦值为.18.（1）令，得时，单调递减，时，单调递增，的极小值为，无极大值（2），即，令时，时，，而，不合题意；时，，显然为减函数当，即时，则单调递增且，时，单调递减当时，时，单调递增且使得，且时，单调递减，时，单调递增，不合题意.综上的最小值为.（3）当时，，若，则，则在没有零点，又在上单调递增，所以最多只有1个零点，不合题意，又由（2）可知，解得欲证，即证，即证即证，即证令得的最小值为，即，易知，综上19.（1）分别是（2）时，分别表示集合中“回函数”个数中“回函数”的个数计算分两种情况：i.若，则其他元素不可能对应到，否则通过两次对应后不可能到达自身，即其他个元素之间只能在内部对应，所以这种情况的“回函数”的个数为；ii.若，由于一个元素经过两次对应必须回到自身，所以必有，而除和之外的元素也不能对应或，即其他个元素只能在它们内部对应，所以“回函数”的个数为，又有种选择，所以这种情况的“回函数”个数为.综上，（3）易知时，，即单调递增时，，且满足不等式综上，时，.