衡阳县一中2025届高三上学期第一次模拟考试卷数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A=x1≤x≤3,B=xy=ln2−x，则∁RB∩A=（   ）A．1,2 B．1,2C．2,3 D．2,32．已知z=21−i1+i,z是z的共轭复数，则z=（    ）A．0 B．2i C．2 D．−23．“a=3”是“直线y=x+4与圆x−a2+y−32=8相切”的    （ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，AD=23AC，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若BP=xBA+yBC，则下列说法错误的是（   ）A．BD=13BA+23BC B．BD→⋅BO→=132C．BP⋅BC存在最大值为9 D．x+y的最大值为1+395．已知点P为椭圆C:x216+y212=1上任意一点，直线l过⊙M:x2+y2−4x+3=0的圆心且与⊙M交于A,B两点，则PA⋅PB的取值范围是（   ）A．3,35 B．2,34 C．2,36 D．4,366．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球2024−kk∈N*.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第n局甲获胜的概率为pn，则关于以下两个命题判断正确的是（    ）①p1=20244048−k，且pn+1=1−2p1pn+p1；②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则k不小于1992.A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥A−BCD，该三棱锥为鳖臑，O1，O2为半圆柱的圆心，半径为2，BD=4，∠AO2C=60∘，动点Q在△ACD内运动（含边界），且满足BQ=10，则点Q的轨迹长度为（    ）A．2π B．3π C．22π D．23π8．已知函数f(x)=e2x+a−12ln(x+5)+a2−5有零点，那么实数a的最大值为（    ）A．12 B．1 C．1+ln2 D．9−ln2二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．抛物线C：y2=4x的准线为l，过焦点F的直线与C交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A'，B'，记△AA'F，△A'B'F，△BB'F的面积分别为S1，S2，S3，则（    ）A．△A'B'F为锐角三角形 B．S2的最小值为4C．S1，12S2，S3成等差数列 D．S1，12S2，S3成等比数列10．如图，在三棱锥A−BCD中，AB、BD、BC两两垂直，E为AC上一点，DE⊥AC，M、N分别在直线AB、DE上，AB=2BC=2BD=2，则：（     ）.A．AC⊥BEB．DE=35C．若平面α//AD且A、B、C、D到α距离相等，则直线DE与α的夹角正弦值为815D．MN的最小值为4414111．在平面直角坐标系xOy中有一点A，A到定点1,1与y轴距离之积为一常数a，A点构成的集合为曲线C，已知C在x>0或x<0分别为连续不断的曲线，则下列说法正确的是：（     ）.  A．曲线C关于直线y=−1对称B．若a=2，则x>0时A到y轴距离的最大值为2C．若x>0，C如图，则a=14D．若C与x轴正半轴交于1,0，则与x轴负半轴的交点横坐标在区间−1,0内第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知函数fx=314x−1+log39+x2+x.若不等式ff−4x+m⋅2x+f−32<0对任意x∈R恒成立，则m的取值范围是.13．已知数列an的前n项和为Sn，满足2Sn=3an−1(n∈N,n≥1)，函数fx定义域为R，对任意x∈R都有fx+1=1+fx1−fx，若f2=1−2，则f(a2025)的值为.14．已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A、B两点（其中A在第一象限），△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1=2r2，则直线l的斜率为.四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）已知数列an，其前n项和为Sn，对任意正整数n,Sn=2an−μ恒成立，且a1+a2=12.(1)证明：数列an为等比数列，并求实数μ的值；(2)若bn=1log2an，数列bn前n项和为Tn，求证：Tn>lnn+22；(3)当n≥1时，设集合Bn=ai+aj∣3⋅2n+1b>0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，长轴长为42，直线PF2的倾斜角为135°(1)求直线PF2的方程及椭圆C的方程.(2)若椭圆C上的两动点A，B均在x轴上方，且AF1//BF2，求证：1AF1+1BF2的值为定值.(3)在（2）的条件下求四边形的ABF2F1的面积S的取值范围.19．（17分）解答下列问题：(1)求函数fx=exx2x>0的极小值；(2)若t∈R，函数ℎx=xex−tx为R上严格增函数，求实数t的取值范围；(3)已知gx=a3x+lnx−exx3，x∈0,+∞，且y=gx只有一个极大值点，求实数a的取值范围.数学答案1．【答案】D2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】ABD10．【答案】AD11．【答案】BCD12．【答案】−∞,413．【答案】−1−214．【答案】215．【解】（1）由题意得Sn=2an−μSn−1=2an−1−μ,n≥2，两式相减可得an=2an−2an−1,∴an=2an−1，令n=1可得S1=2a1−μ，即a1=μ.令n=2可得S2=2a2−μ，即a1+a2=2a2−μ，所以a2=2μ又∵a1+a2=12,∴μ=4.∴数列an为首项为4，公比为2的等比数列.（2）由（1）可知an=4×2n−1=2n+1，所以bn=1log2an=1n+1.∵Tn=i=1n1i+1,lnn+22=ln32+ln43+…+lnn+2n+1=i=1nlni+2i+1，∴要证Tn>lnn+22成立，只需证1n+1>lnn+2n+1，即1n+1>ln1n+1+1令fx=x−lnx+1,f'x=1−1x+1=xx+1>0,x∈0,+∞，∴当x∈0,+∞时，fx单调递增,故fx=x−lnx+1>f0=0,∴f1n+1>0，∴1n+1>ln1n+1+1,∴Tn>lnn+22；（3）n≥1时，集合Bn=ai+aj∣3⋅2n+1n+2，则2i+2j≥2i+2n+3>3⋅2n+1，矛盾∴j=n+2，又∵21+2n+2−3⋅2n=2+4⋅2n−3⋅2n=2+2n>0，∴3⋅2n<21+2n+2<22+2n+2<⋯<2n+2n+2<2n+1+2n+2=3⋅2n+，即i=1,2,3,⋯,n，共n个不同解i,j，所以cn=nn≥1.16．【解】（1）因为点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，所以PO⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，因为PO∩BD=O,PO,BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD．（2）过P作PH⊥BC于H，连接OH，因为OP⊥平面ABCD，因为BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC，又PO∩PH=P，PO,PH⊂平面POH，所以BC⊥平面POH，又OH⊂平面POH，所以BC⊥OH，所以∠PHO为二面角P−BC−A的平面角，由题意知，△PBD是边长为2的等边三角形，所以PO=3，由S△OBC=12OC⋅OB=12OH⋅BC，知OH=OC⋅OBBC=3×12=32，在Rt△POH中，tan∠PHO=POOH=2，即∠PHO=arctan2，所以二面角P−BC−A的大小为arctan2．（3）因为AD//BC，且AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC，所以AD//平面PBC，所以E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离ℎ，因为VD−PBC=VP−BCD，所以13ℎ⋅S△PBC=13OP⋅S△BCD，即ℎ⋅PH⋅BC=OP⋅BC⋅BDsin60°，所以ℎ=OP⋅BDsin60°OP2+OH2=3×2×323+34=2155，即E到平面PBC的距离为ℎ=2155，设直线PE与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=ℎPE=2155PE，要使θ最大，则需使PE最小，此时PE⊥AD，由对称性知，PE=PH=152，所以DE=PD2−PE2=4−154=12=14AD,sinθ=2155PE=45，即sinθ=45时故当点E在线段AD上靠近D点的14处时，直线PE与平面PBC所成的角最大，最大角正弦值为45．17．【解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为105×0.005+115×0.040+125×0.030+135×0.020+145×0.005×10=123；0.005+0.040×10=0.45<0.6,0.005+0.040+0.03×10=0.75>0.6，故第60百分位数落在120,130内，设其为x，则0.005+0.040×10+x−120×0.030=