2024—2025学年高一上学期十二月联考数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列举出集合B中的元素，由并集的定义求.【详解】集合，，则.故选：C.2.命题:“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得到结果.【详解】因为原命题为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，并且需要否定结论，所以原命题“，”的否定为“，”，故选：D.3.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质逐个判断即可.【详解】对于AC，当时，AC显然错误；对于B，取满足，显然，显然不成立，故错误；对于D，由，因为，所以，所以，故D正确.故选：D4.下列各组函数是同一个函数的是（）①与；②与；③与；④与.A.①② B.③④ C.②④ D.①④【答案】C【解析】【分析】整理函数解析式并求其定义域，逐项进行比较，可得答案.【详解】对于①，由函数可得，解得，则其定义域为，由函数可得，解得，则其定义域为，故①不符合题意；对于②，函数的定义域为，函数的定义域为，故②符合题意；对于③，函数的定义域为，函数的定义域为，故③不符合题意；对于④，函数的定义域为，函数的定义域为，故④符合题意.故选：C5.命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由存在量词命题为真求得的范围，再根据“必要不充分条件”即可确定选项.【详解】由，可得在上能成立，因，故得.由题意知，是选项的范围的真子集即可.故选：D.6.已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先解含参数的一元二次不等式得到和的值，再代入中，结合均值不等式求解最值即可.【详解】不等式可化，因为，所以，所以不等式的解集为，所以，，则，因为，所以，，则，当且仅当，即时取等号，所以.故选：D．7.设，，，则a，b，c的大小顺序是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】因为，，，又因为在上单调递增，所以，即，因为，所以，又因为在上单调递增，所以，即，综上：.故选：D.8.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（）A.B.C.函数有3个零点D.当时，【答案】B【解析】【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期可判断A；根据解析式及周期，代入数据可判断B；分别作出和y=fx的图象可判断C；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D.【详解】对于A，因为，且为偶函数，所以，即4是的一个周期，故A正确；对于B，由4是的一个周期，知，，所以，故B错误；对于C，令，可得，作函数和y=fx的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，故C正确；对于D，当时，，则，故D正确．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.方程组的解集是B.若集合中只有一个元素，则C.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件D.已知集合，则满足条件的集合的个数为4【答案】CD【解析】【分析】根据一元一次方程组的解是有序数对可判断A；对参数是否为零进行分类讨论可得或可判断B；利用韦达定理可判断C；由可得是集合的子集可判断D.【详解】对于A，因为，解得，所以解集为，故A错误；对于B，当时，，解得，此时集合，满足题意；当时，需满足，可得，因此或，故B错误；对于C，由可知一元二次方程的判别式，即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，所以充分性成立；若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负，即，也即，所以必要性成立，故C正确；对于D，由可知是集合的子集，所以集合可以是，，，共4个，故D正确.故选：CD.10.已知正数，满足，下列说法正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.的最小值为D.的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断即可.【详解】正数，满足，对于A，，解得，当且仅当时取等号，A错误；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，当且仅当，即时取等号，D正确.故选：BCD11.对于函数下列说法正确的是（）A.当时，的最小值为0B.当时，存在最小值C.当时，在上单调递增D.的零点个数为，则函数的值域为【答案】AD【解析】【分析】对于A，写出此时函数解析式，得到当时，取得最小值，最小值为0；对于B，举出反例；对于C，两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右端点的函数值，故③错误；对于D，分类讨论，结合零点存在性定理得到函数的值域为.【详解】选项A：时，，又因为，，故函数最小值为0（当x=0时取到），选项正确；选项B：不妨设，此时，当时，当时，故，此时函数不存在最小值，选项错误；选项C：在上单调递增，且，当时，在上单调递增，且，当时，，故当时，在R上不单调递增，选项错误；选项D：在上单调递增，当时，设，显然单调递增，又t−1<0,t−12>0，故存在使得，当时，无解，即在上无零点，此时有两个零点，0和，故此时，当时，在上有1个零点，此时有两个零点，0和，故此时，当时，，由A知，此时有1个零点，即，当时，在上无零点，在上也无零点，此时，则函数的值域为，选项正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.不等式对恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】分和两种情况讨论，当时只需即可求出参数的取值范围.【详解】当时，，符合题意，所以；当，只需，解得，综上实数的取值范围为.故答案为：.13.函数y=fx是上的增函数，且y=fx的图象经过点和，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】由函数的单调性性和经过和，确定自变量取值范围，再解不等式即可.【详解】因为y=fx的图象经过点和，所以，.又，所以，即．因为函数y=fx是上的增函数，所以，即2x−1>−22x−1<1，即x>−12x<1，所以，故答案为：.14.已知函数若，则函数的零点个数为______；若函数的最小值为a，则实数a的值为______.【答案】①.1②.或【解析】【分析】讨论与0，1的大小关系，判断在和两区间和上的单调性与最小值，根据的最小值列方程求出答案．【详解】（1）当时，fx=2|x−1|,x>0x2+x+2,x≤0，当时，由，得，解得，当时，由，得，，无解，所以函数的零点为，即函数y=fx的零点个数为1；（2）①若，即时，则fx=a+1,01x2−ax+2,x≤0，所以在上单调递减，最小值为；在上的最小值为．因为函数最小值为，所以．②当，即时，则，所以在上先减后增，最小值为；在上的最小值为．因为函数最小值为，所以，解得，不合题意，舍去．③当，即时，则，所以在上先减后增，最小值为；在上的最小值为．因为函数最小值为，所以，解得或（舍去）．综上可得或.故答案为：1；或.【点睛】关键点点睛：由分段函数求参数问题，解题的关键是讨论与0，1的大小关系，判断在和两区间和上的单调性与最小值．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合，.（1）若，求；；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求出集合和集合的取值，再根据集合的运算求出结果；（2）根据“”是“”的充分不必要条件，得到是的真子集，即可得到结果.【小问1详解】当时，，，所以，或，则或x>6=x|x≠6；【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，对于集合，不等式，即，解得，所以，因为是B的真子集，，所以m-1>-1m+1<6，解得，所以实数m的取值范围是.16.某国产车企业在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为3000万元，每生产百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车的售价为9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出年利润（万元）关于年产量x（百辆）函数关系式；（利润=销售量×售价成本）（2）年产量为多少百辆时，该企业所获年利润最大？并求出最大年利润.【答案】（1）（2）当年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元.【解析】【分析】（1）根据利润=销售量×售价成本，即可得利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（2）分别根据配方法和基本不等式求出每段函数的最大值，再比较大小即可.【小问1详解】当时，，当时，.综上所述，【小问2详解】当时，，所以当时，；当时，，当且仅当，即时等号成立.所以当时，.所以当，即当年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元.17.已知，函数是奇函数，.（1）求实数a的值；（2）若，，使得，求实数k的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义，建立方程，结合对数运算，经过验根，可得答案；（2）整理是函数解析式，利用复合函数单调性，求得函数在对应区间上的最小值，由题意化简不等式，可得答案.【小问1详解】由函数是奇函数，则，可得，，，解得，由，则，当时，，可得，，解得，所以函数的定义域为，经检验，符合题意.【小问2详解】由函数，则函数在上单调递增，所以函数在上的最小值；由函数，且当时，，则在上的最小值.由，，使得，则，即，解得.18.已知函数.（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；（2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域；（3）解不等式.【答案】（1）在区间上的单调递增，证明见解析（2）为奇函数，理由见解析，在区间的值域为；（3）【解析】分析】（1）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；（2）由题可得函数的定义域，并得到，可判断函数的奇偶性，并根据函数单调性得到函数值域；（3）先根据定义域得到，分和两种情况，变形得到和mm+2m2−m−1>0，标根法求出不等式的解集，得到答案.【小问1详解】在区间上的单调递增，证明如下：任取，且，则，因为，且，所以，故，所以，故在区间上的单调递增；【小问2详解】为奇函数，理由如下：的定义域为，，故为奇函数，由于在区间上的单调递增，故在上单调递增，又，，故在上值域为；【小问3详解】的定义域为，令，解得，由得，当，即时，可得，整理得，所以，所以，所以，其中的根为或，由数轴标根法得到不等式解为或，又，所以或，当，即或时，由得，所以mm+2m2−m−1>0，其中的根为或，同理得到不等式解为或或，又或，所以或，故不等式的解为19.已知函数对一切实数，，都有成立，且，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题目中的等式，利用赋值法，整理方程，可得答案（2）由（1）的结果，利用赋值法整理等式，结合题意，可得答案；（3）利用换元法整理方程并构造函数，根据分类讨论研究新函数的单调性，结合函数图象，可得答案.小问1详解】由等式，令，可得，由，解得.【小问2详解】由等式，令，可得，由（1）中的，整理可得，即，所以.【小问3详解】令，则，令，当时，，易知函数在0,+∞上单调递增，此时方程至多只存在一个根，故不符合题意；当时，，此时，当且仅当时，等号成立，由，则，所以方程在0,+∞上无