内江市高中２０２３届第一次模拟考试题数学（文科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．）１．Ａ ２．Ｄ ３．Ｄ ４．Ｃ ５．Ｂ ６．Ａ ７．Ｄ ８．Ｃ ９．Ｂ １０．Ａ １１．Ｂ １２．Ａ二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，满分２０分．）１３．９ １４．２ １５．－５ １６．①③三、解答题（共７０分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答，第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答．）５６０１７．１６０６０×＝２８解：（）按性别分层抽样，参与调查的名学生中，女生人数为１２００（人），所以，ｘ＋ｙ＝２８，ｘ、ｙ∈Ｎ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分若ｘ≥１０且ｙ≥１０，则（ｘ，ｙ）的取值结果有（１０，１８）、（１１，１７）、（１２，１６）、（１３，１５）、（１４，１４）、（１５，１３）、（１６，１２）、（１７，１１）、（１８，１０），共９种，!!!!!!!!!!!!!!!３分其中，满足ｘ＞ｙ的结果有（１５，１３）、（１６，１２）、（１７，１１）、（１８，１０），共４种!!!!!４分４ｐ＝!!!!!６所以参与过滑雪运动的女生比未参与过滑雪运动的女生多的概率９分（２）参与调查的６０名学生中，女生人数为２８人，男生人数为３２人，则ｍ＝３２－２０＝１２，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分由ｘ＋ｙ＝２８，且ｘ＝ｙ－８，得ｘ＝１０，ｙ＝１８，!!!!!!!!!!!!!!!!!９分列联表如下表所示：参与过滑雪未参与过滑雪男生２０１２女生１０１８６０×２０×１８－１２×１０２３０ Ｋ２＝（）＝≈４．２８６＜６．６３５!!!!!!!!!!!!!１１３２×２８×３０×３０７，分故没有９９％的把握认为“该校学生是否参与过滑雪运动与性别有关”!!!!!１２分３１π１８．１ｆｘ＝槡ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ－!!!!!!!!!!!!!!３解：（）（）２２（６），分１π１ｆｘ＝－ｓｉｎ２ｘ－＝－由已知（）２，则（６）２，ππ２π１ｃｏｓ４ｘ－＝ｃｏｓ２２ｘ－＝１－２ｓｉｎ２ｘ－＝又（３）［（６）］（６）２π１ｃｏｓ４ｘ－＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６所以（３）２；分ππ２ｆＣ＝ｓｉｎ２Ｃ－＝１０＜Ｃ＜πＣ＝!!!!!!!!!!!８（）因为（）（６），，所以３，分ａ２＋ｂ２－ｃ２１ｍ珝珗ｎ＝－ｓｉｎＢ＋２ｓｉｎＡ＝０ｂ＝２ａｃｏｓＣ＝＝由题可知·，由正弦定理可得，又２ａｂ２，解得ａ＝槡３，ｂ＝２槡３，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分所以△ＡＢＣ的周长ａ＋ｂ＋ｃ＝３槡３＋３!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２分ｎ＋１１９．解：（１）由已知ａ１＋２ａ２＋３ａ３＋…＋ｎａｎ＝２＋（ｎ－１）·２，ｎ∈Ｎ，①ｎ当ｎ≥２时，有ａ１＋２ａ２＋３ａ３＋…＋（ｎ－１）ａｎ－１＝２＋（ｎ－２）·２，②!!!!!!２分ｎｎ①－②得，ｎａｎ＝ｎ·２ａｎ＝２（ｎ≥２）（）!!!!!!!!!!!!!!!!!４分高三一模考试数学（文科）试题答案第 １页（共４页）在①中，令ｎ＝１，得ａ１＝２，也满足（）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分ｎ所以ａｎ＝２，ｎ∈Ｎ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分２ｎ１１（２）由（１）知，ｂｎ＝ｎｎ＋１＝ｎ－ｎ＋１，!!!!!!!!!!!８分（２－１）（２－１）２－１２－１１１１１１１Ｔ＝－＋－＋＋－故ｎ（２１－１２２－１）（２２－１２３－１）…（２ｎ－１２ｎ＋１－１）１＝１－!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９２ｎ＋１－１，分１Ｔ＜ｍ２－３１－＜ｍ２－３．于是，ｎ２ｎ＋１－１１１－ｎｍ２－３≥１!!!!!!!!!!!!１０因为２ｎ＋１－１随的增大而增大，所以，分解得，ｍ≤－２或ｍ≥２．所以实数ｍ的取值范围是（－∞，－２］∪［２，＋∞）!!!!!!!!!!!!!１２分２０．解：（１）∵ｆ（ｘ）＝ｘ３＋ｘ２－ｘ＋ａ，∴ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ｘ－１＝（３ｘ－１）（ｘ＋１），!!!２分１ｆ′ｘ＞０ｘ＞ｘ＜－１由（），解得３或；１ｆ′ｘ＜０－１＜ｘ＜由（），解得３，１１ｘ∈－１２ｆｘ－１２．!!!!４又［，］，所以（）在［，３］上单调递减，在［３，］上单调递增分１５ｆ－１＝ａ＋１ｆ２＝１０＋ａｆ＝－＋ａ又（），（），（３）２７，５∴ｆｘ１０＋ａ－＋ａ．!!!!!!!!!!!!!!!!!６（）最大值是，最小值是２７分（２）设切点Ｑ（ｘ，ｘ３＋ｘ２－ｘ＋ａ）ｘ３＋ｘ２－ｘ＋ａ－４∴ＰＱｋ＝ｆ′ｘ＝３ｘ２＋２ｘ－１＝!!!!!!!７直线的斜率为ＰＱ（）ｘ－１，分整理得２ｘ３－２ｘ２－２ｘ＋５－ａ＝０，由题意知此方程应有３个不同解．令μ（ｘ）＝２ｘ３－２ｘ２－２ｘ＋５－ａ，∴μ′（ｘ）＝６ｘ２－４ｘ－２＝２（３ｘ＋１）（ｘ－１），１１μ′ｘ＞０ｘ＞１ｘ＜－μ′ｘ＜０－＜ｘ＜１!!!!!!!８由（）解得或３，由（）解得３，分１１∴μｘ－∞－１＋∞－１．函数（）在（，３），（，）上单调递增，在（３，）上单调递减１１１４５∴ｘ＝－μｘμ－＝－ａ当３时，（）有极大值为（３）２７； 当ｘ＝１时，μ（ｘ）有极小值为μ（１）＝３－ａ；!!!!!!!!!!!!!!!!１０分１１４５μ－＝－ａ＞０１４５μｘ＝０３（３）２７３＜ａ＜要使得方程（）有个根，则，解得２７，{μ（１）＝３－ａ＜０１４５∴ａ３．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２实数的取值范围为（，２７）分３３３２１．１０πａ＝槡ｆｘ＝槡ｘ＋ｃｏｓｘｆ′ｘ＝槡－ｓｉｎｘ解：（）函数的定义域为［，］，当２时，（）２，（）２，π２πｆ′ｘ＝０ｘ＝!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２令（），得３或３，分高三一模考试数学（文科）试题答案第 ２页（共４页）πｘ∈０ｆ′ｘ＞０ｆｘ当（，３）时，（），（）单调递增，π２πｘ∈ｆ′ｘ＜０ｆｘ当（３，３）时，（），（）单调递减，２πｘ∈πｆ′ｘ＞０ｆｘ!!!!!!!!!!!!!!!!!４当（３，）时，（），（）单调递增，分π２π０π!!!!!!!!!!!!!!!!５所以函数的单调递增区间为［，３］和［３，］分（２）ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｃｏｓｘｆ′（ｘ）＝ａ－ｓｉｎｘ，因为函数ｆ（ｘ）恰有两个极值点，所以方程ｆ′（ｘ）＝ａ－ｓｉｎｘ＝０有两个不相等的实根，设为ｘ１、ｘ２且ｘ１＜ｘ２，π０≤ｘ≤πｙ＝ｓｉｎｘｘ＝当时，函数图象关于直线２对称，则ｘ１＋ｘ２＝π，ｓｉｎｘ１＝ｓｉｎｘ２＝ａ，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!６分易知ａ≠０，ａ≠１，所以ａ∈（０，１）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分当ｘ∈（０，ｘ１）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，当ｘ∈（ｘ１，ｘ２）时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，当ｘ∈（ｘ２，π）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，所以ｘ１、ｘ２分别是函数的极大值点和极小值点，即Ｍ＝ｆ（ｘ１）＝ａｘ１＋ｃｏｓｘ１，ｍ＝ｆ（ｘ２）＝ａｘ２＋ｃｏｓｘ２，于是有２Ｍ－ｍ＝２（ａｘ１＋ｃｏｓｘ１）－（ａｘ２＋ｃｏｓｘ２），因为ｘ１＋ｘ２＝π，所以ｘ２＝π－ｘ１，所以２Ｍ－ｍ＝３ａｘ１＋３ｃｏｓｘ１－ａπ，而ｓｉｎｘ１＝ａ，所以２Ｍ－ｍ＝３ｘ１ｓｉｎｘ１＋３ｃｏｓｘ１－πｓｉｎｘ１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!９分πｈｘ＝３ｘｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ－πｓｉｎｘ０＜ｘ＜ｈ′ｘ＝３ｘ－πｃｏｓｘ设（），２，则（）（），ππｈ′ｘ＝０ｘ＝令（），得３或２，π０＜ｘ＜ｈ′ｘ＜０ｈｘ当３时，（），（）单调递减，ππ＜ｘ＜ｈ′ｘ＞０ｈｘ!!!!!!!!!!!!!!!!!１１当３２时，（），（）单调递增，分ππ３ｘ＝ｆｘｈｘ＝ｈ＝所以当３时，函数（）有最小值，即（）ｍｉｎ（３）２，３３ｈｘ≥２Ｍ－ｍ≥!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１２因此有（）２，即２分２２．解：（１）曲线Ｃ的参数方程消去参数可得：ｘ２＋（ｙ－１）２＝ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α＝１故曲线Ｃ化为普通方程为：ｘ２＋（ｙ－１）２＝１，!!!!!!!!!!!!!!!!２分π２ρｃｏｓθ＋＝－２ρｃｏｓθ－ρｓｉｎθ＝－２!!!!!!!!!!!!!!!３由槡（４），得，分ｘ＝ρｃｏｓθ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４结合{ｙ＝ρｓｉｎθ分所以直线ｌ的直角坐标方程为ｘ－ｙ＋２＝０!!!!!!!!!!!!!!!!!５分（２）Ｃ的普通方程可化为ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０，ｘ２＋ｙ２－２ｙ＝０ｘ＝－１ｘ＝０!!!!!!!!!!!!!!!!７联立{ｘ－ｙ＋２＝０，解得{ｙ＝１或{ｙ＝２，分３ππ２２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０化为极坐标可得（槡，４），（，２）分２３．解：（１）当ａ＝２时，原不等式可化为｜３ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜≥３!!!!!!!!!１分高三一模考试数学（文科）试题答案第 ３页（共４页）１①ｘ≤１－３ｘ＋２－ｘ＝３－４ｘ≥３ｘ≤０∴ｘ≤０!!!!!!!!!!２当３时，，解得，；分１②＜ｘ＜２３ｘ－１＋２－ｘ＝２ｘ＋１≥３ｘ≥１∴１≤ｘ＜２!!!!!!!３当３时，，解得，；分３③ｘ≥２３ｘ－１＋ｘ－２＝４ｘ－３≥３ｘ≥∴ｘ≥２!!!!!!!!!!４当时，，解得２，；分１｜ｘ－｜＋ｆｘ≥１ｘ｜ｘ≤０ｘ≥１!!!!!!!!５综上所述：不等式３（）的解集为｛或｝分１２｜ｘ－｜＋ｆｘ≤ｘ｜３ｘ－１｜＋｜ｘ－ａ｜≤３ｘ（）由３（），知，１１∵Ｍ［３，２］，１１∴｜３ｘ－１｜＋｜ｘ－ａ｜≤３ｘ!!!!!!!!!!!!!!!６在［３，２］上恒成立，分∴３ｘ－１＋｜ｘ－ａ｜≤３ｘ，即｜ｘ－ａ｜≤１，∴－１≤ｘ－ａ≤１，解得ａ－１≤ｘ≤ａ＋１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分１ａ－１≤３１４∴－≤ａ≤!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!９１，解得２３，分ａ＋１≥{２１４ａ－!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０即实数的取值范围为［２，３］分高三一模考试数学（文科）试题答案第 ４页（共４页）