海淀区2022—2023学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题题目12345678910答案DADBCBCADB二、填空题123（11）(,0)（12）−8（13）23（14）yx=3；(1,2]（15）①②④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）fx()的解析式为fxx()sin(2)=+，6单调递增区间为[,]()k−k+kZ.361（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(B)=sin(2B+)=，62因为0B，所以22B++.666所以2B+=.66即B=.3由余弦定理得bacacB222=+−2cos.即12=a22+c−ac.即12()3=+−acac2.即12=−363ac.即ac=8.1所以S==acsinB23.△ABC2高三数学参考答案第1页（共7页）（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）取PD中点N，连接AN,MN.1在△PCD中，MN,分别为PCP,D的中点，所以MNDC，MNDC=，21因为ABDC，ABDC=，2P所以ABMN，AB=MN.NM所以四边形ABMN为平行四边形，因此BMAN.DC又因为BM平面PAD，AN平面，AB所以BM平面.（Ⅱ）选择条件①因为PD⊥平面ABCD，ADD,C平面ABCD，zP所以PDA⊥D，PDD⊥C.又因为ADD⊥C，M所以建立如图空间直角坐标系Dx−yz．D因为平面，BD平面，Cy所以PDB⊥D.xAB所以在Rt△PBD中，PD=1，PB=3，可得BD=2.1在Rt△ABD中，AD=1，，所以AB=1,又因为ABDC=，所以DC=2.21由题意得D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1),M(0,1,)，21所以DA=(1,0,0)，DM=(0,1,)，DB=(1,1,0).2设平面BDM的法向量为n=(,,)xyz，1n=DM0,yz+=0,所以即2n=DB0,xy+=0.令y=−1，则xz==1,2.所以平面的一个法向量为n=−(1,1,2).易知DA为平面PDM的一个法向量.nDA16所以cosn,DA===.|n||DA|6166因为二面角PDMB−−为钝角，所以二面角的余弦值为−.6高三数学参考答案第2页（共7页）选择条件②因为PD⊥平面ABCD，ADD,C平面ABCD，所以PDA⊥D，PDD⊥C，又因为ADD⊥C，所以建立如图空间直角坐标系Dx−yz．取CD的中点E，连接BE.z1因为ABDC，ABDC=，所以ABDE，ABD=E，P2M又因为ADD⊥C，所以四边形ABED为矩形.1D在△BCD中，因为BDB⊥C，所以BEDC=.ECy21xAB又因为ABDC=，所以ABB=E.2所以四边形ABED为正方形，即ABA==D1，DC=2.1由题意得D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1),M(0,1,)，21所以DA=(1,0,0)，DM=(0,1,)，DB=(1,1,0).2设平面BDM的法向量为n=(,x,y)z，1n=DM0,yz+=0,所以即2n=DB0,xy+=0.令y=−1，则xz==1,2.所以平面的一个法向量为n=−(1,1,2).易知DA为平面PDM的一个法向量.nDA16所以cos,===nDA.||n||DA6166因为二面角P−−DMB为钝角，所以二面角的余弦值为−.6（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）由图可知，亩产量是400kg的概率约为0.005500.25=，亩产量是450kg的概率约为0.01=500.5，亩产量是500kg的概率约为0.005500.25=.估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为0.250.60.15=.（Ⅱ）X的所有可能取值为960，1080，1200，1350，1500.PX(960)0.25===0.40.1，PX(1080)0.5===0.40.2，PX(=1200)=0.250.4+0.250.6=0.1+0.15=0.25，PX(=1350)=0.50.6=0.3，PX(=1500)=0.250.6=0.15.高三数学参考答案第3页（共7页）X的分布列为X9601080120013501500P0.10.20.250.30.15EX()9600.110800.212000.2513500.315000.1512=++++=42.（3）建议农科所推广该项技术改良.设增产前每亩冬小麦产量为kg，增产后每亩冬小麦产量为kg，则=+50.设增产后的每亩冬小麦总价格为Y元，由分析可知EYEX()=()+50(2.40.4+30.6)所以增产的50kg会产生增加的收益是50(2.40.430.6)138125+=，故建议农科所推广该项技术改良.19.（本小题14分）（Ⅰ）解法一：0是fx()的极小值点，理由如下：当x0时，ln(1)x+0，所以fxxx()ln(1)0=+.当−10x时，011+x，可知ln(1)x+0，所以.而f(0)0=，由极小值点的定义知，0是的极小值点.（Ⅰ）解法二：0是的极小值点，理由如下：x对函数求导得fxx()ln(1)=++.x+1x当时，ln(1)0,0x+，x+1所以fx()0.x当时，，可知ln(1)0,0x+，x+1所以fx()0.所以在区间(0,+)上单调递增,在区间(−1,0)上单调递减.所以0是的极小值点.1ln(x+1)+x2−xfx()1ln(x+1)1（Ⅱ）证明：−x+1等价于−x+1，即20.x22x2x1记g(xxxx)=++−ln(1)(1)x−2.21x2求导得g(x)=+x−1=.xx++11当x−1时易知gx()0，所以函数gx()在区间(−1,+)上单调递增.又g(0)=0，可得当x0时，g(x)=g(0)0，高三数学参考答案第4页（共7页）1即当x0时，不等式ln(1)0xxx++−2成立.2fx()1即当时，不等式−+x1成立.x22当−10x时，gx()g(0=)0，1即当时，不等式ln(x+1)+x2−x0成立.2即当时，不等式成立.综合上述，不等式成立.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）将点P(−2,1)，Q(22,0)坐标带入椭圆E的方程，得41+=1,22ab22解得ab==8,2.8=1.a2xy22所以椭圆E的方程为+=1.82（Ⅱ）若直线l斜率不存在，即直线l为x=0时，A和M点重合，B和N点重合，分别为椭圆的上下顶点(0,2),(0,−2)，此时||GMGN||(22)(22)2=−+=，符合题意.若直线l斜率存在，设直线AB的方程为ykx=+2，AxyBxy(,),(,)1122(x1−2且x2−2).ykx=+222联立方程xy22得，(41)1680kxkx+++=.+=182111=−+=−(16kkk)32(41)32(41)0222，k2，即k或k−.422−16k8xx+=，xx=.1241k2+1241k2+y1−1y1−12(1)y1−kPA=，所以直线PA的方程为yx=++(2)1，取x=0得M(0,1)+.x1+2x1+2x1+22(1)y−同理可得N(0,1)2+.x2+22(yy−−1)2(1)由|GM|=|GN|2得12+1−2+1−2=2，xx12++222(kx++1)2(kx1)即12−1−1=2.xx12++22xx所以(2k−1)212=2，xx12++22高三数学参考答案第5页（共7页）xx即(21)2k−=212.xxxx1212+++2()482(21)2k−=241k+，832k−+44141kk22++(2k−1)2即=1，4kk2−+831因为k，2|21|k−所以得=1，|23k|−即k=1.经检验符合题意，此时直线l为yx=+2.综上所述，直线l的方程为x=0或yx=+2.（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）1,2,1和3,1.（Ⅱ）SQ()的最小值为7.2首先证明SQ()≥7：由题知Cn≥6得n4.①当n=4时，应有数列中各项均不相同，此时有SQ()123410+++=；②当n=5时，由于数列中各项必有不同的数，进而有SQ()6.若SQ()6=，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时TQ()4，不符；③当n≥6时，同②可得SQ()≥7.综上所述，有.同时当Q为2,2,1,1,1时，SQ()=7，所以SQ()的最小值为7.（Ⅲ）TQ()的最大值为511566.下面分五步证明当最大时，数列Q应满足：①存在大于1的项，否则此时有TQ()=0；②an=1，否则将an拆分成an个1后变大；③当tn=−1,2,,1时，有aatt≥+1，否则交换aatt,+1的顺序后变为TQ()+1.进一步有aatt−+1{0,1}，否则有aatt≥+1+2，此时将at改为at−1，并在数列末尾添加一项1，此时变大；④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q中存在相邻的两项aatt==3,+12，设此时Q中有x项为2，则将at改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为T()Q++x1−x=T(Q)+1;⑤由上可得数列Q为2,2,,2,1,1,1的形式,设其中有项为2,有y项为1,则有2xy+=2023,高三数学参考答案第6页（共7页）2x=506从而有TQxyxxxx()(20232)22023==−=−+，由二次函数性质可得，当且仅当时，y=1011TQ()最大，为511566.综上可得TQ()的最大值为511566.高三数学参考答案第7页（共7页）