2023北京大兴高三（上）期末数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合Ax=x|12，则RA=（A）{xx|1x＜，或＞2}（B）{xx|1x≤，或≥2}（C）{}xx|1x2，或＞（D）{x|1x＜，或x2}（2）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（A）yx=ln（B）yx=tan1（C）yx=3（D）y=−x（3）在(1)x−5展开式中，x2的系数为（A）10（B）5（C）−10（D）−5（4）记Sn为等差数列{}an的前n项和．已知S3=−3，a5=2，则（A）为递减数列（B）a3=0（C）Sn有最大值（D）S6=0（5）已知抛物线yx2=4上一点M与其焦点F的距离为5，则点到x轴的距离等于（A）3（B）4（C）（D）42（6）“a=0”是“直线x−ay+2a−1=0(aR)与圆xy22+=1相切”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件32（7）某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(−2，1)和B()，−24两点，则曲线C的离心率等于12（A）（B）2236（C）（D）22n*（8）已知数列{}an中，a1=1，aann=+12，nN，则下列结论错误的是（A）a2=2（B）aa43−=2n+1（C）{}a2n是等比数列（D）aa2nn−1+=22第1页/共11页学科网（北京）股份有限公司（9）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成。现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AGxAB=+yAD，则2xy+等于2C（A）D5HE4（B）G5FAB（C）1（D）2cosπx1（10）已知函数fx()=，给出下列结论：①fx()是周期函数；②最小值是−；③的xx2−+2321最大值是；④曲线yf=x()是轴对称图形．则正确结论的序号是2（A）①③（B）②④（C）①②③（D）②③④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知复数z满足zi=1+i，则||z=．（12）一个袋子中装有5个不同颜色但大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是．π（13）在ABC中，ab==2，22．若=A，则c=；若满足条件的三角形有两个，则A的一个值4可以是．x2+41x+a，，x（14）已知函数fx()=若a=0，则函数的值域为；若函数y=−f(x)2恰有lnxx+1，1.三个零点，则实数a的取值范围是（15）在正方体ABCD−ABCD中，O为正方形ABCD的中心.动点P沿着线段CO从点C向点移动，有下列四个结论：①存在点，使得PA=PB；②三棱锥A−BDP的体积保持不变；③PAB的面积越来越小；④线段AB上存在点Q，使得直线PQ⊥直线AB，且直线⊥直线OC；则上述结论中，所有正确结论的序号是三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）第2页/共11页学科网（北京）股份有限公司π函数fxAxA()sin()=+(0,0,0)部分图象如图所示，已知xx−=π.再从条件①、条件241②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．（Ⅰ）求函数fx()的解析式；（Ⅱ）求的单调减区间．π条件①：x=；112π条件②：x=；26π条件③：x=．32注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分．（17）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，ABDCBAD∥，=90，PAB为等边三角形，且平面PAB⊥底面，ABCDAD===223，，MQ，分别为PDAB的中点.（Ⅰ）求证：PB∥平面MQC（Ⅱ）求直线PC与平面所成角的正弦值；（18）（本小题14分）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有ABC，，三类歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三类歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每类歌曲的歌名相互独立，猜对三类歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：歌曲类别ABC猜对的概率0.80.5获得的奖励基金额/元100020003000（Ⅰ）求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；（Ⅱ）若p=0.25，设甲按“”的顺序猜歌名获得的奖励基金总额为X，求X的分布列及数学期望E(X)；（Ⅲ）写出p的一个取值，使得甲按“”的顺序猜歌名比按“CBA，，”的顺序猜歌名所得奖励基金的期望高.（结论不要求证明）第3页/共11页学科网（北京）股份有限公司（19）（本小题14分）xy22已知椭圆E:1(0)+=ab经过直线lx:y22+0−=与坐标轴的两个交点.ab22（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）A为椭圆的右顶点，过点(2,1)的直线交椭圆于点MN,，过点M作x轴的垂线分别与直线lAN，交于点PQ,，求证：P为线段MQ的中点.（20）（本小题15分）已知函数fxxxaa()ln()(1)=−+（Ⅰ）当函数yf=x()在x=1处的切线斜率为0时，求a的值；（Ⅱ）判断函数单调性并说明理由；（Ⅲ）证明：对xx12，，[0+)有|()()|||fxfxxx21−−21成立.（21）（本小题14分）已知数列{ann}(=1,2,,2022)，a1,,a2a2022为从1到2022互不相同的整数的一个排列，设集合jA={x|x=ani+,n=0,1,2,2022−j},中元素的最大值记为,最小值记为N.i=1（Ⅰ）若数列{}an为:1，，，，，，，，，，，352019202120222020201842,且j=3，写出MN，的值；（Ⅱ）若j=3，求M的最大值及N的最小值；（Ⅲ）若j=6，试求M的最小值.第4页/共11页学科网（北京）股份有限公司参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）12345678910ACCBBADDDB二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）23（12）4π（13）2；(0，)之间的任意一个角都可以4（14）[4−)+，；(3−6)，（15）①②③（只写对一个2分，只写对二个3分）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题14分）解：由图可知xx41−=π，所以T=π.………………………………2分2π又知==2.………………………………4分T所以f(x)=+Asin(2x).ππ（Ⅰ）若选择条件①②，即x=，x=.11226ππ因为f(x)=f()=Asin(+)=0.1126ππ由图可知+=2kkπ，Z，即=−+2kπ.……………………6分66π因为0，2π所以当k=0时，=−.………………………………8分6π所以f(x)=−Asin(2x).6ππ又因为f(x)=f()=Asin=1.266所以A=2.………………………………10分π所以f(x)=−2sin(2x).6π若选择条件①③,即，x=.32第5页/共11页学科网（北京）股份有限公司ππ因为fxfA()()sin()0==+=.1126ππ由图可知+=2kkπ，Z，即=−+2kπ.66π因为0，2π所以当k=0时，=−.6π所以f(x)=−Asin(2x).6ππ又因为fxfA()()sin1===,326所以A=2.π所以fx(x)2s=−in(2).6ππ若选择条件②③,即x=，x=.2632因为fx(f)x(23)=,xx+π由图可知，当x==12时fx()取得最大值，23ππ即fA()=，AAsin(2+)=332π由sin(+=)132ππ得+=+2kkπ，Z，32因为，π所以=−.6π又f(x)==f()1，26所以A=2.所以.π3π（Ⅱ）因为函数yx=sin的单调递减区间为[2++kkπ,2π]，kZ，22ππ3π由+2k≤2x−≤+2k，，………………………………2分262π5π得+k≤x≤+k，.36第6页/共11页学科网（北京）股份有限公司π5π所以fx()单调递减区间为[++kkπ,π]，kZ.…………………4分36（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）连结QDB，D，BD与QC交于点O，……………………1分因为底面ABCD是直角梯形，AB∥DC,Q为AB的中点.所以BQ∥DC且BQ=DC，即BQDC为平行四边形，所以点是BD中点，连结OM，所以PBMO∥.……………………3分又因为PB平面MQC，MO平面，所以PB//平面.……………………5分（Ⅱ）因为PAB为等边三角形，为的中点，所以PQ⊥AB.又面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，所以PQ⊥面ABCD，又因为ABDCBAD∥，=90，所以BQCQ⊥.如图建立空间直角坐标Qxyz−，……………………2分133可知Q()000，，，P(0，，03)，C(0，，30)，M()−，，，222易知PC=−(0,3,3)，……………………4分设面MQC的法向量为n=()x，，yz，133且QC=(0，，30)，QM=−()，，，22230y=，n=QC0，即133n=QM0，−x+y+z=0．222所以n=(3，，01)，……………………6分设PC与平面MQC所成角为，……………………7分−32则sin=cosPC，n==，……………………9分3+33+142所以与平面所成角的正弦值为.4（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）设“甲按“ABC，，”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，………1分则PE()=0.80.5(1−p)+0.80.5p=0.4.……………………5分所以，甲按“”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名的概率为0.4.第7页/共11页学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1000，3000，6000，……………………1分PX()==−=010.80.2，PX()==−=10000.8(10.5)0.4，PX()==−=30000.80.510.250.3()，PX()===60000.80.50.250.1，……………………5分所以随机变量X的分布列为0100030006000P0.20.40.30.1所以EX()00.210000.430000.360000.11900=+++=.……………………7分（Ⅲ）0p0.5均可.……………………2分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）直线lx:y22+0−=与坐标轴的两个交点为(2,0),(0,1)，……………………2分由于ab，所以a=2，b=1，……………………4分x2所以椭圆E的方程为+=y21.……………………5分4（Ⅱ）设过点(2,1)的直线为l1，由题意直线l斜率存在，设l1方程为y−1=k(x−2)，即y=kx+(1−2k).……………………1分y=kx+(1−2k)由2，消元得x22+4[kx+（1−2k)]=4，x2+=y14整理得(1+4k2)x2+8k(1−2k)x+16k2−16k=0.……………………2分由=[8k(1−2k)]2−4(1+4k2)(16k2−16k)=64k0，可得k0.……………3分设M(x1,y1),N(x2,y2)，则8kk(1−2)16kk2−16xx+=−，xx=.……………………4分1214+k21214+k22−x由题意，将xx=，代入得Px(,)1，……………………5分112y直线AN的方程为yx=−2(2)，……………………6分x2−2yx21(−2)令得Qx(,)1，……………………7分x2−2y2(x1−−2