兰化一中2023届高三第四次阶段考试数学（理科）（命题人：李兰萍杨润叶2023.1）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知z1i10，则z=（）12A.1B.2C.D.222.已知集合Axx24,xZ,By|yx2,xA,则A∩B（）A.B.C.D.0,2,410,120,1,40,43.已知sin，则cos2（）6231111A．B．C．D．42424.某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为x7，y10．甲统计员得到的回归0.17x方程为y1.69xa；乙统计员得到的回归方程为yˆ2.52e；若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论：①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取e3.430）；②aˆ1.83；③方程yˆ1.69xaˆ比方程yˆ2.52e0.17x拟合效果好；④y与x正相关．以上说法正确的是（）A．①②④B．②④C．②③D．①③④高三数学（理）第1页共6页5.在等差数列an中an0，且a1a2a20194038,则a1a2019的最大值等于（）A．9B．8C．6D．46.m1是椭圆mx23y26m0的焦距为4的（）“A”．充“分不必要条件B．必要”不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大､内容最丰富的佛教艺术胜地，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟､莫高窟三层楼16号窟､藏经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是（）4311A．B．C．D．772358.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）99A.4B.C.3D.34229.已知抛物线C:x22py(p0)的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C上，过点M作MAl，A为垂足，已知直线AF的斜率为2，AFM的面积为10，则p等于（）A．4B．6C．△8D．1010.若函数f(x)excosxa在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）0,πA．B．C．D．11.在三棱[−锥P2,+AB∞C)中，侧[棱1,P+A∞)底面ABC(,1P,A+∞5)，如图是其底(面−2A,B+C∞用)斜二测画法所画出的水平放置的直观图A'B'C'，其中O'B'O'C'O'A'2，则该三棱锥外接球的表面积为（）高三数学（理）第2页共6页A．36B．41C．48D．50lnx,0xe12.已知函数f(x)e，若0abc且满足f(a)f(b)f(c)，则,xexaf(b)bf(c)cf(a)的取值范围是（）11A．(1,)B．e,C．1,e1D．e,2eee二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名，高斯函数fxx也被应用于生活、生产的各个领域．高斯函数也叫取整函数，其符号x表示不超过2kx的最大整数，如：2.392，0.171．若函数fkcoskZ，则fk的值域为3_________．2514.1ax1x的展开式中，x4项的系数为35，则实数a的值为______．15.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，则32acosB5△A_B__C___.(????+????)⋅��=|��|bcosAn*16.已知数列an满足anan121,nN，且a41，则a2023________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题，共60分2cbcosB117.(12分)在①，②2acosCc2b，③asinAcosCcsin2A3bcosA.acosA2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且______.（1）求A；（2）求cosBcosC的取值范围.高三数学（理）第3页共6页18.(12分)2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有200名同学参赛．为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学的竞赛成绩按、、、、、、分成7组，绘制成了如图所示的30频,4率0分布40直,5方0图．50,6060,7070,8080,9090,100（1）求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数；（2）学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低于90分的同学有两次抽奖机会，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数量（单位：本）及对应的概率如下表：现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为，求的分布列和数学期望．奖品数量（单位：本）24概率314419.(12分)立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E,F,G分别是边长为4的正方形三边AB,CD,AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB,CG就得到了一个“刍甍”(如图2)．高三数学（理）第4页共6页（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF.2（2）若二面角AEFB的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值.322xy20.(12分)已知椭圆C:1ab0，倾斜角为30的直线过椭圆的左焦点F和上顶点B，a2b213且S1（其中A为右顶点）.ABF12(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点M(0,m)的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且PM2MQ，求实数m的取值范围.xlnx21.(12分)已知函数f(x)ae,aR.x（1）若xe时，f(x)取得极值，求f(x)的单调区间；（2）若函数g(x)xf(x)x,x[1,),求使g(x)2恒成立的实数a的取值范围.高三数学（理）第5页共6页（二）选考题（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.）22.[选修4-4：坐标系与参数方程]x2t在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数），以坐标原点O为极y3(1t)π点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin．6(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；直线与轴交于点，与曲线交于两点，求11．(2)lyPCA,B22PAPB23.[选修4-5：不等式选讲]已知m2n2，且m1,n0.12（1）求的最小值；m1nm24n2（2）求的最小值.2n2m1高三数学（理）第6页共6页