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数学参考答案与评分细则
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2023届大湾区普通高中毕业班联合模拟考试数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.题号12345678答案BDCBABCA二、选择题:本题共4小题,每小题5分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.题号9101112答案ACADBCAC三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.113.114.515.16.232四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)解答:由题可得,……分(1)a13,a27,a3112*故an34(n1)4n1(nN).……4分16且,(2)bnan4n1(an1)(an15)161故b……5分n4n(4n415)n(n2)111.……7分2nn21111111111……分Tn18232435n1n1nn231113.……10分42n1n24高一数学参考答案第1页(共9页)18.(12分)解:(1)由条件及正弦定理可得(sinBsinC)cosAsinAcosBsinAcosC0……1分即sinBcosAcosBsinAsinCcosAcosCsinA0故sin(BA)sin(CA)0则有sin(BA)sin(AC)……3分又BA(,),CA(,)故有BAAC,或(BA)(AC)π(舍去),或(BA)(AC)π(舍去).……5分则BC2A,又ABCπ所以A.……6分3(2)设ACB,在△ABD和△ACD中,由正弦定理可得BDADCDAD,……8分2sin()sin()sinsin()34342BDsin()CDsin()3……9分sin()sin3443sinsin()4……10分2sin()sin()3433sin……11分3131cossin222tan963……12分19.(12分)高一数学参考答案第2页(共9页)解:(1)连接AB1,A1B交于点O,连接OD……2分ABCA1B1C1为三棱柱ABB1A1为平行四边形,点O为AB1的中点又D为B1C1的中点AC1OD……4分平面平面又ODA1BD,AC1A1BD平面AC1A1BD.……6分(2)解法1:CAABCAAA1ABAA1ACA面ABB1A1AB1面ABB1A1,CAAB12222AB1CB1AC2222AB2,AB12,BB122222……7分ABAB1BB1即ABAB1以为坐标原点,分别为建立空间直角坐标系,AAB,AB1,ACx,y,zA(0,0,0),A1(2,2,0),B(2,0,0),B1(0,2,0),C1(2,2,2),D(1,2,1)……8分AA12,2,0A1D1,0,1ABAB1ABACAB1ACA即平面的一个法向量为……9分AB面AB1CAB1Cn11,0,0高一数学参考答案第3页(共9页)AAn02x2y012即设平面的法向量为,则AA1Dn2x,y,zxz0A1Dn20……10分令x1,y1,z1n2(1,1,1)设平面与平面所成夹角为,AB1CAA1Dn1n211010(1)13cos……11分23n1n2111133平面ABC与平面AAD所成夹角的余弦值是.……12分113解法2:设点E为BC的中点,点F为AC的中点,连接DE交B1C于点Q,连接AE,AQ,EF,F设点P为AQ的中点,连接EP,FP.QEP点E为BC的中点,点D为B1C1的中点1EQBB且EQBB=2,点Q为BC的中点1211ACC1A1为矩形,ACAA1平面又ACAB,ABAA1A,ACABB1A1……7分ACAB1在中,,可得△ACB1ACAB1,AC2,B1C22AB12为等腰直角三角形,其中△AB1CACAB12,B1C22而点为的中点,且……8分QB1CAQB1CAQ2点P为AQ的中点,点F为AC的中点高一数学参考答案第4页(共9页)112FPBC且FPCQBC12412FPAQ……9分又在Rt△ABC中,ABAC2,点E为BC的中点AE2在△AEQ中,AEEQAQ2,且点P为AQ的中点6EPAQ且EP2EPF即为平面AB1C与平面AA1D所成的夹角……10分126在△EFP中,EFAB1,FP,EP……11分222EP2FP2EF23cosEPF……12分2EPFP320.(12分)1解:(1)由已知XB(6,),……2分2所以P(X2)P(X0)P(X1)P(X2)11111161511C0()6C1()5C2()2()4;……5分62622622646464321(2)由已知XB(n,),所以E(X)0.5n,D(X)0.25n,……7分2X若0.40.6,则0.4nX0.6n,即0.1nX0.5n0.1n,n高一数学参考答案第5页(共9页)即X0.5n0.1n.……8分0.25n由切比雪夫不等式PX0.5n0.1n1,……10分(0.1n)20.25n要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间,则10.98,(0.1n)2解得n1250,所以估计信号发射次数n的最小值为1250.……12分21.(12分)解:(1)令,A(x1,y1),B(x2,y2)112,,,y2xy2xykPAyy11……2分lPA:yy1(xx1)y1又P(1,2)11……3分lPA:2y1(1x1)y1(1x1)y121y(1x)11……4分2y1262y12x1同理可得.……5分y226,y1y226,x1x22(y1y2)462222.……6分|AB|(x1x2)(y1y2)(46)(26)230(2)令,由条件知.……7分C(x3,y3)y1y2y301ABBCsinABCSABBCAMCN△ABC2(1)(1)……8分S1BMBNBMBN△BMNBMBNsinABC2高一数学参考答案第6页(共9页)yyyyyy131313(1)(1)12y2y2y2y2yyy(yy)y2yy13112112222222y2y2y222yyy191121……10分y2y2y224|AM|y34|AM|3|BM|,1|BM|y243y10……11分4y2y1S9当1时,△ABC取得最大值.……12分y22S△BMN422.(12分)ex1解:(1)证明:(1)f(x)的定义域为(,0)(0,)………1分xx1ex1f(x),令f(x)0,得:x1,………2分x2当x变化时f(x),f(x)的关系如下表:x(,0)0(0,1)1(1,)f(x)\0f(x)f(x)在(,0),(0,1)上单调递减;在(1,)上单调递增.………4分(2)证明:要证ablnab2,只需证:alnbblna2高一数学参考答案第7页(共9页)根据alnbblna,只需证:blna1………6分不妨设ab,由alnbblna得:alnablnb;eaeb两边取指数,ealnaeblnb,化简得:………7分abexeex1令:g(x),则g(a)g(b),g(x)ef(x),根据(1)得xxg(x)在(,0),(0,1)上单调递减;在(1,)上单调递增(如下图所示),由于g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,要使g(a)g(b)且ab,则必有0a1,b1,即0a1b由0a1b得:b1,1lna1.………8分要证blna1,只需证:b1lna,由于g(x)在(1,)上单调递增,要证:b1lna,只需证:g(b)g(1lna),…………9分又g(a)g(b),只需证:g(a)g(1lna),…………10分高一数学参考答案第8页(共9页)e只需证:eae1lna,aa1lna1lna只需证:ea1lnae,1lna1只需证:,eea1lna11lna只需证:0,即证ea0,eeae1lnx1lna令(x)ex,(0x1),(1)0,(a)eaee只需证:(x)0,(0x1),111exex(x)ex,exexexexex令h(x)exex,h(1)0,h(x)exe0,(0x1),h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)h10,exex所以(x)0exex所以(x)在(0,1)上单调递减,所以(x)10所以(a)0所以:ablnab2.……12分高一数学参考答案第9页(共9页)

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