#$#%届高三统一考试试题数学参考答案!!&!解析本题考查集合的运算#考查运算求解能力!%'解不等式##!得$$%!!所以#(&$$%!#!则'!#(&%$或(!#!#!)!解析本题考查复数的运算#考查运算求解能力!+*$#,*%&+*$#由题可知$!(#'*!$#(+*!则$((('!,#*!复数的虚部为#!#'*+$!%!)!解析本题考查函数的图象#考查直观想象和逻辑推理的核心素养!#,-./$'#%#,-./#!因为%$'%(('('%$%!所以%$%为奇函数!故排除1!2!又%$%(!($!所/*0$'%/*0#以排除&!!&!解析本题考查直线与抛物线的位置关系#考查分类讨论的数学思想!因为点$!!#%在抛物线&#(上!所以有且只有一条过点$!!#%的直线与抛物线相切!此时的直线方程为&(,!!当斜率为$时!直线与抛物线相交!且只有一个交点!此时的直线方程为&(#!故选&!+!1!解析本题考查球的应用#考查空间想象能力!设球'的半径为(!则!(#(%3!!所以((%!)#)*外接圆的半径为槡%!所以点'到平面#)*的距离为!槡%#5槡#%#'$槡%%#(槡3!三棱锥''#)*的体积为44%4槡3(!槡%3!2!解析本题考查指数和对数的运算#考查抽象概括能力!%,%%由题意!+(,-(!即-(!所以-(!槡,!%!%!令,-.(!即-.(!故$%.(!即.67(67!%%槡%槡%!67%可得.$67%'#67#%('67%!即.(*!3!#67#'67%8!1!解析本题考查排列组合#考查逻辑推理的核心素养!!将+人按%!!!!分成三组!且甲'乙在同一组的安排方法有1%种!#将+人按#!#!!分成三组!且甲'乙在同一组的安排方法有1%种!!#%则甲'乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为$1%,1%%)%(%3!9!2!解析本题考查三角恒等变换#考查数学运算的核心素养!由已知可得-./($!,%,$!'%),-./($!,%'$!'%),!(#-./$!'%,-./$!,%!#-./$!,%-./$!'%'#-./$!'%'-./$!,%,!($!!(-./$!,%'!)(#-./$!'%'!)($!即-./$!,%(!或-./$!'%(!#!!!!又$$!$$!所以$$!,$!!'$!'$$!则!'('!所以'!(!##%%5!)1!解析本题考查三角函数的图象与性质#考查直观想象和逻辑推理的核心素养!!!!!由题可得%$%(#/*0$#'%!)正确*因为%$%(#/*0$'%('!!所以%$%的图象不关于直线%!#3%!!!!!(对称!&错误*因为%$%(#/*0$'%($!所以%$%的图象关于点$!$%对称!1正确*因为#'!#3%%3!!#!!+$'!%!所以函数%$%在$$!%内不是增函数!2错误!%%%#!$!&1!解析本题考查平均数与方差#考查数据处理能力!!$45,!$48!$!$由题意!该样本数据的平均数,((9!方差/#(4(!!,$5'9%#),4(9,$8'9%#)(!$,!$#$#$!!高三数学参考答案第!页#共页$!%书!$:+!!!!)&1!解析本题考查抽象函数的性质#考查抽象概括能力!令0(1(!!得%$!%(%$!%,%$!%!所以%$!%($!选项)正确!###-!!#+$$!,;%!且!$#!则(!!%$%$$!%$!%'%$#%(%$!%'%$4!%(%$!%'!!!##(%$%,%$!%)('%$%($!所以%$!%(%$#%!%$%在$$!,;%上是减函数!又%$%为!上的奇函!!数!%$'!%($!%$$%($!所以%$%有三个零点!将%$%的图象向右平移#个单位长度得到%$'#%的图象!所以%$'#%有三个零点!选项&正确!由于%$%为奇函数!所以%$%在$';!$%上也是减函数!选项1正确!由题意!画出%$'#%的图象!如图所示!$$!($!%$'#%$$等价于或%$'#%($%$'#%$$!由图可知!不等式的解集为&$$或!$$#或(%#!选项2不正确!故选)&1!!#!)12!解析本题考查空间向量与立体几何#考查直观想象和逻辑推理的核心素养!!对于)!易证2!).平面#)!*!所以当#(时!2!3.平面#)!*!即平面#2!3.平面#)!*!故)项#正确*对于&!平面#!2*!/平面#)!*!又因为4+平面#!2*!!所以3与#!重合!5与*!重合!此时#(!$!(!!不符合题意!故&项错误*对于1!当#((时!35.)!*!!35.#!*!此时35最小!最小值$$#!#为槡#!故1项正确*对于2!当#(!(时!在#!2!上取靠近2!点的三等分点6!连接64并延长交#$%#2于点7$图略%!易得点7是#2上靠近#点的三等分点!在)*上取靠近)点的三等分点8!易知四边槡!$形6785为矩形!求得面积为!故2项正确!故选)12项!%!%!!3!解析本题考查平面向量的数量积公式#考查运算求解能力!由$!'%.!得$!'%&($!即!&(#!0'3(!$!则0(!3!!!'#,%'#$答案不唯一%!解析本题考查不等式的应用#考查化归与转化的数学思想!令%$%('#,%'#!则%$%&60('$'!%$'#%60($的解集为8!槡#!+!!解析本题考查双曲线的综合#考查数学运算和逻辑推理的核心素养!3-#!!-#-#!-#槡#易知98#&98)(#!所以4(#!即#(!所以*的离心率为!,#(!,槡!%'!槡'!,,3槡,3%*0(<$%(!所以,,-的最小值为!,!$,!%,!,#,%,1!8!$!%解+因为,,,,,(1#,1!#%1,!,!则当1(!时!(#!即,!(!………………………………………………………………………………!分#,!,#,%,1'!当1##时!,,,,,(1#'1!………………………………………………………………#分#%1!!高三数学参考答案第#页#共页$!%,!,#,%,1,1上式与,,,,,(1#,1相减!得(#1!#%1,!1,!所以,1(#1$1,!%!…………………………………………………………………………………………分#又,!(!满足,1(#1$1,!%!所以,1(#1,#1!…………………………………………………………+分!!!!!$#%证明+(((')!…………………………………8分$1,#%,1#1$1,!%$1,#%1$1,!%$1,!%$1,#%!!!!!!!所以,,,,((')$!………………………………………!$分%,!,#$1,#%,1#$1,!%$1,#%9!9!解+$!%设甲获得的奖金为=元!则=可能的取值为$!#$$!8$$!…………………………………………!分8$=(#$$%($:84$:+4$:+4$:9($:!!…………………………………………………………………#分8$=(8$$%($:84$:+4$:+4$:#($:$%+!………………………………………………………………%分8$=($%(!'$:!'$:$%+($:9#+!………………………………………………………………………分所以4=($:9#+4$,$:!4#$$,$:$%+48$$(+#:+!…………………………………………………3分$#%由$!%可知!获得二等奖的概率为$:!!获得一等奖的概率为$:$%+!………………………………9分设事件#+甲和乙最后所得奖金之和为5$$元!设事件)+甲选手获得一等奖!8$#)%$:$%+4$:!!则所求的概率8$)&#%(((!………………………………………………!#分8$#%$:$%+4$:!4##!5!$!%证明+由--./*'-./)(!!可得--./*'>-./)(>!…………………………………………………#分所以/*0)-./*'/*0*-./)(/*0*!………………………………………………………………………%分则/*0$)'*%(/*0*!………………………………………………………………………………………分所以)'*(*或)'*,*(!$舍去%!即)(#*!…………………………………………………………3分!!1$$#$!1$$!'%*$!##!!!!$#%解+由)#)*为锐角三角形!可得$$)$!则$$#*$!即$*$!…………………5分0#0#3!!$$*$!$$*$!2#2#,>/*0#/*0$),*%/*0)-./*,-./)/*0*由正弦定理可得(!则,((((%'/*0#*+$!!#%!/*0#/*0*/*0*/*0*/*0*所以,的取值范围为$!!#%!………………………………………………………………………………!#分#$!$!%证明+连接#'!因为#).#*!'为)*的中点!所以'#(')('*!………………………………!分因为#!)(#!*(##!!所以)#!'#3)#!')3)#!'*!……#分所以4#!'#(4#!')(4#!'*!………………………………%分!又4#!'),4#!'*(!!所以4#!')(4#!'*(!即#!'.)*!##!'.#'!……………………………………………………………分因为)*5#'('!所以#!'.平面#)*!………………………+分$#%解+如图所示!分别以'#!')!'#!所在的直线为!&!$轴建立空间直角坐标系!则#$槡#!$!$%!*$$!'槡#!$%!#!$$!$!槡#%!)$$!槡#!76767676$%!设)!?(#)!*!!#)($'槡#!槡#!$%!#!*($$!'槡#!'槡#%!…………………………………………………………………………3分76767676767676#!?(#!)!,)!?(#!)!,#)!*!(#),#)*($'槡#!槡#'#槡##!$%!………………………………8分#L)($!1'槡#,槡#&($!$!!%!设平面#!)!*的法向量为#(&$由76得0#&#!*($!2'槡#&'槡#$($!令&(!!得(!!$('!!即#($!!!!'!%!………………………………………………………………9分76$&#!?($!1'槡#,,$槡#'#槡##%-($!$!!%!设平面#!?*的法向量为$(,->由76得0$&#!*($!2'槡#-'槡#>($!令-(!!得,(!'##!>('!!即$($!'##!!!'!%!……………………………………………………!$分!!高三数学参考答案第%页#共页$!%$&#%'##槡%%&-./-$!#.&(&&(&&(!解得#(!…………………………………!!分&$&&#&槡%4槡$!'##%#,#%76%76槡%即当)!?()!*!时!二面角?'#!*')!的余弦值为!……………………………………………!#分%%'%#!!$!%解+由题可知%$!%((!即-(!',!…………………………………………………………#分,'!-%$,'#%,3#%,,%#%,,%3又%=$%(##(##!所以%=$!%(#('!…………………………………分$,'%$,'%$,'!%-,(%!解得即,(%!-('#!………………………………………………………………………………+分-('#!$#%证明+要证%$%$?@0!只需证%/*0'%-./'#/*0($!………………………………………8分令<$%(%/*0'%-./'#/*0!则<=$%(%-./'%-./,%/*0'#/*0'#-./($/*0'-./%!………………………………………………………………………………………………………9分令@$%(/*0'-./!+$$!!)