2024-2025学年广东省东莞市高一上学期期末教学质量检查数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.tan(−330∘)的值为(    )A.−33 B.33 C.−3 D.32.设集合A={x|−21b>0”是“a0，若方程f(x)=k有三个不同的实数解，则k的取值范围为(    )A.(−∞,3) B.(−∞,3] C.[3,4) D.(3,4)7.为了得到函数y=sin(2x+π3)的图象，只需要把函数y=cosx上所有的点(    )A.向右平移π6个单位，横坐标变为原来的12倍B.向左平移π6个单位，横坐标变为原来的2倍C.横坐标变为原来的12倍，向左平移π12个单位D.横坐标变为原来的2倍，向左平移π6个单位8.设函数f(x)=sin2x−sinx在[−2π,4π]上的零点为x1，x2，⋯，xn，则x1+x2+⋯+xn=(    )A.6π B.7π C.9π D.13π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知10a=2，10b=3，则下列运算正确的是(    )A.10a+b2=6 B.10a−b2=63 C.ab=log32 D.ab=lg610.若a，b>0，且ab=a+b+3，则下列说法中正确的是(    )A.a+b的最大值为6 B.a+b的最小值为6C.ab的最大值为9 D.ab的最小值为911.我们知道：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=f(x+a)−b为奇函数，类比以上结论也可得到函数y=f(x)的图象关于直线x=c成轴对称图形的充要条件.已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于直线x=2成轴对称图形，且f(x−1)为奇函数，当2≤x<5时，f(x)=ln(6−x)，则下列说法中正确的是(    )A.f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称图形B.f(x+2)为偶函数C.f(x)的最小正周期为12D.当8≤x<11时，f(x)=−ln(12−x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.命题p:∀x∈[−1,1]，x2−1<0的否定是          ．13.已知tanα+tanβ=1，则sin(α+β)cos(α+β)+cos(α−β)=          ．14.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，称y=[x]为取整函数.例如：[1]=1，[0.5]=0，[−0.5]=−1.已知函数f(x)=2[sinx ]+2[cosx]，则f(5π6)=          ;f(x)的值域为          ．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知集合A={y|y=2x,x<3}，集合B={x|y=log2(x2−x−6)}．(1)在下面的直角坐标系中画出函数y=2x的图象，求A∩∁RB;(2)若全集U={x∈Z|x∈A}=C∪D，C∩∁UD={2,3,6,7}，求集合D．16.(本小题12分)已知函数f(x)=ex+e−x2，g(x)=ex−e−x2．(1)求f(ln32+ln2)，g(2ln2);(2)求[f(x)]2−[g(x)]2的值;(3)已知实数a满足f(a)=32，求g(2a)的值．17.(本小题12分)用水清洗一件衣服上的污渍，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上污渍的12，用水越多洗掉的污渍也越多，但总有污渍残留在衣服上.设用x单位量的水清洗一次以后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数f(x)=kk+x2．(1)求f(x)的解析式，写出f(x)应该满足的条件或具有的性质(至少写2条，不需要证明);(2)现有m(m>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少?请说明理由．18.(本小题12分)已知f(x)=cos2(ω2x+π3)−cos2(ω2x−π6)(ω>0)．(1)若ω=2，α∈(0,π2)，且f(α+π6)=35，求sin2α;(2)若f(x)在(0,2π9)上单调，且在(0,2π)上恰有3个最值点，求ω的取值范围．19.(本小题12分)对于任意两正数u，v(u0}={x|x<−2或x>3}所以∁RB={x|−2≤x≤3}，所以A∩∁RB=(0,3](2)所以U=C∪D={x∈Z|x∈A}={1,2,3,4,5,6,7}因为C∩∁UD={2,3,6,7}，所以2，3，6，7∈C且2，3，6，7∉D再由U=C∪D={1,2,3,4,5,6,7}，假设1∉D，则由C∪D={1,2,3,4,5,6,7}可得1∈C，故1∈C∩∁UD={2,3,6,7}，显然矛盾，所以1∈D;同理4∈D，5∈D，所以D={1,4,5} 16.解：(1)由题意得f(ln32+ln2)=f(ln3)=eln3+e−ln 32=eln 3+eln132=3+132=53;由题意得g(2ln2)=g(ln4)=eln4−e−ln42=eln 4−eln142=4−142=158(2)由题意得[f(x)]2−[g(x)]2=(ex+e−x2)2−(ex−e−x2)2=e2x+2+e−2x4−e2x−2+e−2x4=1(3)由题意得f(a)=ea+e−a2=32，(方法一)由f2(a)−g2(a)=1，得g(a)=±52，所以g(2a)=e2a−e−2a2=(ea+e−a)(ea−e−a)2=±352(方法二)由ea+e−a=3，得e2a+e−2a=7，因为(e2a−e−2a)2=(e2a+e−2a)2−4=72−4=45，所以e2a−e−2a=±35，所以g(2a)=e2a−e−2a2=±352(方法三)由ea+e−a=3，得(ea−e−a)2=(ea+e−a)2−4=5，所以ea−e−a=±5，因为f(x)⋅g(x)=(ex+e−x2)·(ex−e−x2)=e2x−e−2x4=g(2x)2，所以g(2a)=2f(a)⋅g(a)=±352． 17.解：(1)因为f(1)=kk+1=12所以k=1，即f(x)=11+x2函数f(x)=11+x2的定义域为[0,+∞)，值域为(0,1]，在区间[0,+∞)内单调递减．(2)f(m)=11+m2，f(m2)=11+(m2)2=44+m2，f2(m2)=(44+m2)2=164+m22，f(m)−f2(m2)=11+m2−16(m2+4)2=(m2+4)2−16(1+m2)(1+m2)(m2+4)2=m2(m2−8)(1+m2)(m2+4)2=m2(m−22)(m+22)(1+m2)(m2+4)2 ①当m=22时，f2(m2)=f(m)，此时清洗一次或两次残留的污渍一样， ②当022时，f2(m2)22时，清洗两次残留的污渍量更少 18.解：由题意可得：f(x)=cos2(ω2x+π3)−cos2(ω2x−π6)=cos2(ω2x+π3)−cos2[(ω2x+π3)−π2]=cos2(ω2x+π3)−sin2(ω2x+π3)=cos(ωx+2π3).(1)当ω=2时，f(x)=cos(2x+2π3)，f(α+π6)=cos(2α+π)=−cos2α=35，所以cos2α=−35，因为α∈(0,π2)，所以2α∈(0,π)，所以sin2α=1−cos22α=1−925=45；(2)当x∈(0,2π9)，ωx+2π3∈(2π3,2π9ω+2π3)，因为y=cosx在(2π3,π)上单调，所以2π9ω+2π3≤π，所以ω≤32，当x∈(0,2π)，ωx+2π3∈(2π3,2πω+2π3)，f(x)在(0,2π)上恰有3个最值点，即y=cosx在(2π3,2πω+2π3)恰有3个最值点，分别是π，2π，3π，所以3π<2πω+2π3≤4π，解得76<ω≤53，因为ω≤32，所以76<ω≤32． 19.解：(1)由题意得L(1,2)=ln2，L(3,6)=L(1,6)−L(1,3)=ln6−ln3=ln2，L(12,6)=−L(6,12)=−(L(1,12)−L(1,6))=−ln12+ln6=−ln2(2)对正数k和任意两个正数u，v，L(u,v)=L(ku,kv)，由题知L(u,v)=L(1,v)−L(1,u)=lnv−lnu=lnvu，L(ku,kv)=L(1,kv)−L(1,ku)=lnkv−lnku=lnkvku=lnvu，故L(u,v)=L(ku,kv)(3)(i)设y=f(x)=1x，由题意得ln(1+1x)=ln(x+1x)=L(x,x+1)，由L(x,x+1)小于高为1x，底为1的长方形面积，得L(x,x+1)<1x×1=1x，由L(x,x+1)大于高为1x+1，底为1的长方形面积，得L(x,x+1)>1x+1×1=1x+1，所以对任意正数x，恒有1x+1ln(21)+ln(32)+ln(43)+⋯+ln(n+1n)=ln(21．32．43⋅n+1n)=ln(n+1)，显然，当n→+∞时，ln(n+1)→+∞，所以1+12+13+⋯+1n→+∞