浙江省台州市2024-2025学年高二上学期期末质量评估数学试题第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)在坐标平面xOy内射影的坐标为(    )A.(0,1,2) B.(1,0,3) C.(1,2,0) D.(0,0,0)2.已知直线l的一般式方程为x-2y+6=0，则(    )A.直线l的截距式方程为x-6+y3=1 B.直线l的截距式方程为x6-y3=1C.直线l的斜截式方程为y=-12x+3 D.直线l的斜截式方程为y=12x-33.已知椭圆的标准方程为x24+y23=1，下列说法正确的是(    )A.椭圆的长轴长为2 B.椭圆的焦点坐标为(7,0)，(-7,0)C.椭圆关于直线y=x对称 D.当点(x0,y0)在椭圆上时，|y0|≤34.设等比数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，若S3a2=3，则S4a3的值为(    )A.1 B.2 C.3 D.45.台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔(觇孔的中心分别记为点A，B)，运动员需要确保靶纸上的黑色圆心(记为点C)与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点A(0,32)，点B(45,8950)，则点C的坐标为(    )A.(10,92) B.(10,5) C.(10,112) D.(10,6)6.在四面体OABC中，OA⋅OB=OA⋅OC=OB⋅OC=0，|OA|=|OC|=2，若直线OC与平面ABC所成角为30∘，则|OB|=(    )A.1 B.2 C.3 D.27.已知等差数列{an}(n∈N*)的首项为a1，公差为2，前n项和为Sn，数列{bn}满足：nbn=Sn，则下列说法正确的是(    )A.∀a1∈R，数列{Sn}为递增数列B.∃a1∈R，使得数列{bn}为递减数列C.∃a1∈R及正整数p，q，r(10，则曲线Γ表示圆 B.若AB=0，则曲线Γ表示抛物线C.若AB>0，则曲线Γ表示椭圆 D.若AB<0，则曲线Γ表示双曲线10.对于数列{an}(n∈N*)，若存在正整数T，使得对于任意正整数n，都有an+T=an，则称数列{an}为周期数列.下列数列{an}中为周期数列的是(    )A.an=1+(-1)n2 B.a1=2，an+1=1-1anC.an=2nsinnπ2 D.a1=1，an+1=2an,n是奇数,1an,n是偶数.11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为A1D1的中点，N为D1C1的中点，P为平面ACB1内的动点，则(    )A.MC1//平面ACB1B.平面ADD1A1与平面ACB1所成角的正切值为2C.若MP与BD1所成角为π3，则点P的轨迹为圆D.△MPN周长的最小值为2+142第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线x2-y2b2=1(b>0)的离心率为5，则b=          ．13.已知曲线x2+y2=|x|+|y|，则该曲线的一条对称轴方程为          .(写出满足条件的一个方程即可)14.用max{a,b}表示两数a，b中的较大者，记cn=max{3n-1,λ·2n-1}(λ>0，n∈N ​*)，若c1+c2+c3+c4+c5≥60，则λ的取值范围是          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知直线l:x-y+4=0，圆C:(x-a)2+(y-2)2=2．(1)若直线l把圆C分成面积相等的两部分，求实数a的值;(2)若直线l与圆C相切，求实数a的值．16.(本小题15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，∠BAC=π3，BD=13BA1．(1)用AB，AC，AA1表示CD;(2)求直线CD与直线AC1所成角的余弦值．17.(本小题15分)设函数f(x)=2x-1，g(x)=4x2-2x-1，数列{an}，{bn}(n∈N*)满足：a1=3，b1=-1，an+12=f(an)+g(an)2，bn+1=g(bn)-[f(bn)]22．(1)若an>0，求数列{an}的通项公式;(2)求数列{bn(an2-1)}(n∈N*)的前n项和Sn．18.(本小题17分)动点M(x,y)到直线y=x与直线y=-x的距离之积为12，记点M的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程;(2)若点A(x0,y0)为曲线E与抛物线y2=2px(00，且y0≠1时，求直线AB斜率的取值范围．19.(本小题17分)把n元有序实数组(a1,a2,⋯,an)称为n维向量，类似平面向量与空间向量，对于n维向量i=(a1,a2,⋯,an)，j=(b1,b2,⋯,bn)，也可定义两个向量的加法运算和减法运算i±j=(a1±b1,a2±b2,⋯,an±bn);数乘运算λi=(λa1,λa2,⋯,λan)，λ∈R;向量的长度(模) |i|=i=1nai2;两个向量的数量积i⋅j=|i|·|j|cosi,j=i=1naibi(i,j表示向量i，j的夹角，i,j∈[0,π]);向量j在向量i上的投影向量的模|i=1naibi|i=1nai2.n维向量为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间．(1)已知m=(1,2,3,4,5)，n=(1,1,1,1,1)，求向量m，n的夹角的余弦值;(2)已知4维向量OA=(1,2,3,0)，OB=(1,2,0,4)，OC=(1,0,3,4)，OD=(0,2,3,4)，OP=aOA+bOB+cOC+dOD，且6a+7b+8c+9d=1，求|OP|的最小值;(3)ai∈R(i=1,2⋯,n)，i=1niai=0，求|i=1nai|i=1nai2的最大值(用含n的式子表示)．(注：12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6)答案和解析1.C 【解析】在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)在坐标平面xOy的射影坐标是(1,2,0)．故选：C．2.A 【解析】因为直线l的一般式方程为x-2y+6=0，所以直线l的截距式方程为x-6+y3=1，故A正确，B错误；直线l的斜截式方程为y=12x+3，故C，D错误．故选A．3.D 【解析】对于A、椭圆的标准方程为x24+y23=1，其中a=4=2，b=3，则其长轴长2a=4，故A错误；对于B、椭圆的标准方程为x24+y23=1，其中a=2，b=3，则c=a2-b2=1，则其焦点坐标为(1,0)、(-1,0)，故B错误；对于C、椭圆的标准方程为x24+y23=1，其中a=2，b=3，则其焦点在x轴上，关于直线y=x不对称，故C错误;对于D、椭圆的标准方程为x24+y23=1，其中a=2，b=3，则y0的最大值为3，则必有|y0|≤3，故D正确．故选：D．4.D 【解析】设等比数列{an}的公比为q，当q=1时，满足S3a2=3a1a1=3，则S4a3=4a1a1=4，当q≠1时，S3a2=a11+q+q2a1q=3，则q=1，矛盾，综上，S4a3的值为4．故选：D．5.B 【解析】根据题意可设C10,y，因为A，B，C三点共线，则AB=λAC，即45,725=λ10,y-32=10λ,λy-32，则10λ=45λy-32=725⇒λ=450y=5,则点C的坐标为(10,5)．故选：B．6.B 【解析】由题可知OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC，以O为原点，OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设|OB|=m(m>0)，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,m,0)，C(0,0,2)，则AB=(-2,m,0)，AC=(-2,0,2)，设平面ABC的法向量为n=(x,y,z)，由n⋅AB=0n⋅AC=0，可得-2x+my=0-2x+2z=0，令x=m，则y=2，z=m，所以平面ABC的一个法向量为n=(m,2,m)，直线OC的一个方向向量为OC=(0,0,2)，已知直线OC与平面ABC所成角为30∘，则有sin30∘=|OC⋅n|OC||n||=12，即12=|m|2m2+4，化简得：2m2+4=4m2，又因为m>0，所以m=2，即OB=2．故选：B．7.C 【解析】选项A，显然当a1<-2时，{Sn}为先减后增数列，故A错误；选项B，由题意，可得Sn=na1+n(n-1)2×2=na1+22n2-22n=22n2+(a1-22)n，又nbn=Sn，可得bn=Snn=22n+a1-22，则bn+1-bn=22(n+1)+(a1-22)-[22n+(a1-22)]=22>0，所以数列{bn}是公差为22的等差数列，且为递增数列，故B错误；选项C，假设ap，aq，ar成等比数列，则aq2=apar，因为an=a1+2(n-1)，所以有[a1+2(q-1)]2=[a1+2(p-1)][a1+2(r-1)]，可得：22a1(q-1)-2a1[(p-1)+(r-1)]=2(p-1)(r-1)-2(q-1)2，整理可得a1=2[(p-1)(r-1)-(q-1)2]2(2q-p-r)，可知2q-p-r不恒为0，因此∃a1∈R及正整数p，q，r(1-1，故D错误．故选：C．8.D 【解析】如图所示：设内切圆的切点分别为P，Q，R，则MP=MQ,RF1=PF1,RF2=QF2，得MF1-MF2=RF1-RF2=x1+c-c-x1=2x1，由椭圆的焦半径公式得MF1x0+a2c=ca,MF2a2c-x0=ca，得MF1=cax0+a,MF2=a-cax0，则MF1-MF2=cax0+a-a-cax0=2cax0，得2cax0=2x1，又因为x0=5x1，所以2ca·5x1=2x1，而a=5，得c=1，即b2=a2-c2=5-1=4，故椭圆E的方程为x25+y24=1．故选：D．9.AD 【解析】对于A、若A=B>0，则方程可化为x2+y2=1A，表示以(0,0)为圆心，1A为半径的圆，故A正确；对于B、若AB=0，取A=0，B=1，则方程可化为y2=1，不表示抛物线，故B错误；对于C、若AB>0，取A=B=