汉阳一中、江夏一中、洪山高中2024-2025学年度下学期3月联考高一数学试卷命题学校：汉阳一中命题教师：毛建国审题教师：陆冬丽考试时间：2025年3月13日下午15:00—17:00试卷满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知向量，，，若，则（）A.B.C.0D.1【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的充要条件得解即可.【详解】因为，，所以，因为，所以，解得，故选：B2.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的递增区间是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据平移得，进而根据整体法即可求解单调区间.第1页/共16页【详解】根据题意可知，令,解得，，故的递增区间是，，故选：D3.若且P是线段的一个三等分点，则点P的坐标为（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】由或求解即可；【详解】由题意得或．设，则，当时，，所以，即；当时，，所以，即．故选：D4.定义：，其中为向量与的夹角.若，，，则（）A.B.C.6D.－6【答案】A【解析】【分析】根据数量积可求向量夹角的余弦值，从而可得夹角的正弦值，故可求.【详解】因为，故，第2页/共16页而，故，故，故选：A5.设，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可【详解】因为，所以，且，所以，则故选：A．6.在中，，则一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【答案】B【解析】【分析】应用投影向量的定义得出三角形形状即可.【详解】由，可知在上的投影向量为，即点在边上的投影为边的中点，所以，为等腰三角形．故选：B.7.已知，则的取值范围是（）A.B.C.D.第3页/共16页【答案】C【解析】【分析】设向量，的夹角为，求得的表达式，利用平方的方法，结合余弦函数的值域等知识求得正确答案.【详解】设向量，的夹角为，则，因为，所以，令，则，因，所以，又，所以.故选：C8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】A中，由正弦定理可得中线的表达式，判断出A的真假；B中，由三角形等面积法求出角平分线的表达式，判断出B的真假；C中，由三角形等面积法求出高的表达式，判断出C的真假；D中，由选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出D的真假．【详解】A：设为的中线，由可得,可得，即，所以A正确；第4页/共16页B中，设，设为的角平分线，所以，由三角形等面积法可得，可得，所以，即，所以B正确；设为边上的高，由等面积法可得，所以，因为，由余弦定理可得，所以，所以，即，所以C正确；D中，由C可得，所以D不正确．故选：D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列化简正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】第5页/共16页【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确.【详解】对于A，易知，可得A错误；对于B，易知，即B正确；对于C，易知，即可得C错误；对于D，，可得D正确故选：BD10.如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（）A.函数的周期是B.点是函数图象的一个对称中心C.直线是函数图象的一条对称轴D.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数【答案】AB【解析】【分析】根据函数图象求出、，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.第6页/共16页【详解】由图可得，所以，则，解得，即函数的最小正周期是，故A正确；又，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确；因为，所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误；将函数的图象向右平移个单位得到，显然为非奇非偶函数，故D错误.故选：AB11.如图，直线与的边分别相交于点，设，则（）A.的面积B.C.D.【答案】AD第7页/共16页【解析】【分析】A选项，由正弦定理和面积公式求出A正确；B选项，，由正弦定理得到B错误；CD选项，利用向量加法法则得到，进而由数量积运算法则得到答案.【详解】A选项，由正弦定理得，即，的面积，A正确；B选项，因为，所以，由正弦定理得，B错误；CD选项，因为，所以，即，故，即，所以，C错误，D正确，故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离__________.【答案】【解析】【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可.第8页/共16页【详解】分别过点作的垂线，垂足分别为，则根据正切函数的定义得，，则，解得.故答案为：.13.已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可.【详解】向量与的夹角为钝角，则，解得或；又向量与不共线，所以，解得且；故所求的取值范围是.故答案为：14.在边长为4正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为______．第9页/共16页【答案】【解析】【分析】过作交于点，可知当与半圆相切时，最大，再利用三角函数求解即可.【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得，设，所以，当与半圆相切时，取得最大值，此时最大，过作交于点，连接，当取得最大值时，且，因为，正方形边长为4，则，，所以，所以，则，所以，得，所以的最大值为.所以最大值为.第10页/共16页故答案为：24.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．15.化简下列各式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据向量的加法、减法法则计算即可；（2）应用向量的线性运算计算即可；（3）利用诱导公式和同角三角函数基本关系式计算即可.【小问1详解】；【小问2详解】；【小问3详解】.16.的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，的面积为．求的周长．第11页/共16页【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据余弦的二倍角公式化简即可；(2)根据面积公式结合余弦定理求解即可.【小问1详解】由可得，解得或（舍），故.又为内角，故.【小问2详解】，则，解得.由余弦定理可得，解得.故的周长为.17.如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）（1）证明：为定值；（2）求的最小值，并求此时的，的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】第12页/共16页【分析】（1）求出，从而由三点共线，可得答案；（2）结合（1）可得，化简后利用基本不等式可求得结果.小问1详解】因为是边边上中线，，所以.又是的中点，，所以.因为三点共线，所以且所以，即为定值；【小问2详解】由（1）所以，当且仅当,即时，等号成立.所以时，的最小值.18.如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记．第13页/共16页（1）记四边形的面积为的函数，周长为的函数，（i）证明：；（ii）求的最大值；（2）求四边形面积的最小值．【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）（i）根据已知条件求出，，结合同角三角函数的平方关系即可求解；（ii）根据（i）的结论及重要不等式即可求解；（2）根据已知条件求出四边形的面积的表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求解.【小问1详解】（i）由题知：，．所以．（ii）由（i）知：，当时，时取等号，所以，故当时，的最大值为．【小问2详解】因为．令，所以，第14页/共16页令，对称轴为，开口向上，由二次函数的性质知，若，则在上单调递减，在上单调递增，所以．若，则在上单调递减，所以，综上，当时，四边形面积最小值为；当时，四边形面积最小值为.19.（1）借助两角和与差公式证明：；（2）当时，利用所给图形证明（1）中等式；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用即可求证；（2）在中利用算两次思想求得及即可.【详解】（1）由题意得，，，第15页/共16页两式相加得，．（2）由题意得，线段的中点的坐标为．如图，过作垂直于轴，交轴于，则，．在中，，在中，，∴，即．第16页/共16页