沧州五校2025年3月月考数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(    )A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a|C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a2.已知a和b是两个不共线的向量，若AB=a+mb，BC=5a+4b，DC=-a-2b，且A，B，D三点共线，则实数m的值为(    )A.12 B.1 C.-12 D.-13.已知向量a,b满足a=2,b=1，且b⊥a-b，则b在a上的投影向量为(    )A.-14a B.14a C.-12a D.12a4.在△ABC中，∠B=π3,AB=8,AC=7，则BC=(    )A.5 B.3或5 C.4 D.2或45.在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC=2π3，AD=4，AB=2BD，且△ADC的面积为43，则sin∠ABD=(    )A.15-38 B.15+38 C.5-34 D.5+346.设e为单位向量，|a|=4，当a，e的夹角为π6时，a在e上的投影向量为(    )A.-12e B.e C.3e D.23e7.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2-2csinB+c2=a2，且a=2，则tanAtanBtanC的最大值为(    )A.5-2 B.3-5 C.5-12 D.5+148.向量a=(sin(ωx-π4),sinωx)，b=(sin(ωx+π4),sinωx+23cosωx)(ω>0)，函数g(x)=a⋅b-12的两个相邻的零点间的距离为π2，若x=x0(0⩽x0⩽π2)是函数f(x)=a⋅b的一个零点，则cos2x0的值为(    )A.35-18 B.35+18 C.1-358 D.15+38二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|=1，则给出下列结论(    )A.OA⋅OD=-22 B.OB+OH=-2OEC.AH在AB向量上的投影为-22 D.AH⋅HO=BC⋅BO10.下列说法正确的是(    )A.在△ABC中，若AB⋅BC>0，则△ABC为锐角三角形B.若a=(3,4),b=(-1,2)，则a在b方向上的投影向量为(-1,2)C.若a=(1,k),b=(2,2)，且a+b与a共线，则a⊥bD.设M是△ABC所在平面内一点，且MB+32MA+32MC=0，则S△ABCS△MAC=411.下列说法中错误的为(   )A.已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(-53,+∞)B.向量e1→=(2,-3),e2→=(12,-34)不能作为平面内所有向量的一组基底C.若a→//b→，则a在b方向上投影的数量为aD.三个不共线的向量OA,OB,OC，满足OA→·(AB→|AB→|+CA→|CA→|)=OB→·(BA→|BA→|+CB→|CB→|)=OC→·(CA→|CA→|+BC→|BC→|)=0，则O是△ABC的内心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知OA=a，OB=b，若∣OA∣=12，∣OB∣=5，且∠AOB=90∘，则∣a-b∣=          13.已知海岛B在海岛A的北偏东75°的方向上，且两岛的直线距离为30 n mile.一艘海盗船以30 n mile/h的速度沿着北偏东15°方向从海岛B出发，同时海警船以303nmile/h的速度从海岛A进行追赶，经过t小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东          ．14.飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为酒吧常见的日常休闲活动．某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖ABCDEFGH，该十字飞镖由四个全等的三角形和一个正方形组成．在△ABC中，AB=13，AC=5，BC=4，边DE上有4个不同的点P1，P2，P3，P4，且P1P2=P2P3=P3P4=2EP1=2DP4.记ai=BC⋅BPi(i=1,2,3,4)，则a1+a2+a3+a4=          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题14分)已知向量a=(2,x)，b=(1,2)．(1)若x=32，求a在b上的投影向量的模；(2)若a//b，向量c=(1,x-1)，求a与c夹角的余弦值．16.(本小题14分)如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：AD+BE+CF=0．17.(本小题15分)在▵ABC中，已知∠BAC=120∘，AB=2，AC=1．(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90∘，求△ADC的面积．18.(本小题17分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若a=3c，b=2，cosB=23，求c的值；(2)若sin Aa=cos B2b，求sin (B+π2)的值．19.(本小题17分)如图，设Ox,Oy是平面内相交成α(0<α<π)角的两条射线，e1,e2分别为Ox,Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系.在α仿射坐标系中，若OP=xe1+ye2，记OP=x,y．(1)在α仿射坐标系中．①若a=m,n，求a；②若a=-1,2,b=-2,1，且a，b的夹角为π3，求cosα；(2)如图所示，在π3仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，BC=1,OD=13OC，E，F分别为BD，BC中点，求OE⋅OF的最大值．答案1.C 解：对于A，λ>0时，a与-λa的方向相反，λ<0时，a与-λa的方向相同，∴选项A错误；对于B，|λ|≥1时，|-λa|≥|a|，|λ|<1时，|-λa|<|a|，∴选项B错误；对于C，∵λ≠0，∴a与λ2a的方向相同，选项C正确；对于D，|-λa|是实数，|λ|a是向量，二者不相等，∴选项D错误．故选：C．2.B 解：由已知可得 BD=BC+CD=5a+4b+a+2b=6a+6b，因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得AB=λBD，即a+mb=λ6a+6b，则1=6λm=6λ，解得m=1．故选：B3.B 【解析】解：因为b⊥a-b，所以b⋅a-b=0，所以a⋅b=|b|2=1，设a,b的夹角为θ，所以b在a上的投影向量为|b|⋅cos θ|a|⋅a=a⋅b|a|2⋅a=14a．故选：B．4.B 【解析】解：由余弦定理，得AB2+BC2-2AB⋅BCcos B=AC2，即64+BC2-8BC=49，即BC2-8BC+15=0，解得BC=3或5，经检验，均满足题意．故选：B．5.A 解：由题可得S△ADC=12×AD×AC×sin∠DAC=12×4×AC×32=43，解得AC=4，所以△ADC为等腰三角形，则∠ADC=π6，故∠ADB=5π6，在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，即2BD12=BDsin∠BAD，得sin∠BAD=14，因为∠ADB=5π6，所以∠BAD为锐角，故cos∠BAD=154，故sin∠ABD=sin(∠ADC-∠BAD)=sin(π6-∠BAD)=12cos∠BAD-32sin∠BAD=15-38．故选：A．6.D 解：因为 e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为π6，所以 a在 e方向上的投影向量为 |a→|cos⁡π6·e→= 23 e．故选：D．7.B 解：因为b2-2csinB+c2=a2，且a=2，则b2-acsinB+c2=a2，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，所以acsinB=2bccosA，即asinB=2bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=2sinBcosA，其中sinB≠0，则sinA=2cosA，所以tanA=2，又tanA=-tanB+C=-tanB+tanC1-tanBtanC=2，化简可得2tanBtanC-2=tanB+tanC，且▵ABC为锐角三角形，则tanB>0,tanC>0，所以2tanBtanC-2=tanB+tanC≥2tanBtanC，即tanBtanC-tanBtanC-1≥0，解得tanBtanC≥1+52或tanBtanC≤1-52(舍)，所以tanBtanC≥1+522=6+254，当且仅当tanB=tanC=2时，等号成立，则tanAtanBtanC的最大值为26+254=86-256+256-25=163-516=3-5．故选：B．8.B 解：g(x)=a→·b→=sin⁡(ωx-π4)sin⁡(ωx+π4)+sin2ωx+23sin⁡ωxcos⁡ωx-12=sinωx-π4cosωx+π4-π2+sin2ωx+3sin2ωx-12=sinωx-π4cosωx-π4+sin2ωx+3sin2ωx-12=12sin2ωx-π2+sin2ωx+3sin2ωx-12=-12cos2ωx+1-cos2ωx2+3sin2ωx-12=3sin2ωx-cos2ωx=2sin⁡(2ωx-π6)，∵gx相邻零点间的距离为π2，∴周期T=π，即2π2ω=π，又ω>0，∴ω=1，∴fx=gx+12=2sin2x-π6+12∵x=x0(0⩽x0⩽π2)是函数f(x)=a→⋅b→的一个零点，∴sin2x0-π6=-14，∵0⩽x0⩽π2，∴-π6≤2x0-π6≤5π6，又∵sin2x0-π6=-14<0，∴-π6≤2x0-π6<0，∴cos2x0-π6=154，∴cos2x0=cos2x0-π6+π6=cos2x0-π6×32-sin2x0-π6×12154×32+14×12=35+18，故选B．9.AB 解：图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|=1，对于A:OA⋅OD=1×1×cos 3π4=-22，故A正确．对于B:OB+OH=2·OA=-2·OE，故B正确．对于C：AH在AB向量上的投影|AH|cos 3π4=-22|AH|，|AH|≠1，故C错误．对于D：∵|AH|=|BC|，|HO|=|BO|，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故D错误．故选：AB．10.BD 解：对于A，因为AB⋅BC>0，所以BA⋅BC<0，于是∠B>π2，所以△ABC为钝角三角形，所以A错；对于B，因为a=(3,4),b=(-1,2)，则a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=a⋅b|b|2⋅b=55⋅(-1,2)=(-1,2)，所以B对；对于C，假设C对，则a⊥b，从而a⋅b=2+2k=0，于是k=-1，所以a+b=(3,1)与a=(1,-1)不共线，所以与a+b与a共线矛盾，所以C错；对于D，取AC中点D，连接MB、MD，延长MD到N，使MD=DN，连接AN、CN，则四边形ANCM为平行四边形，于是MD=12(MA+MC)，又因为MB+32MA+32MC=0，所以MD=12(MA+MC)=-13MB，所以B、M、D共线，且MD=14⋅BD，所以S△ABCS△MAC=4，所以D对．故选：BD．11.AC 解：A.∵a→=(1,2),b→=(1,1)，a与a+λb的夹角为锐角，∴a·(a+λb)=(1,2)·(1+λ,2+λ)=1+λ+4+2λ=3λ+5>0且λ≠0(此时a与a+λb的夹角为0)，故A错误；B.∵向量e1=(2,-3)=4e2，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；C.若a//b，则a在b方向上的投影的数量为±a，故C错误；D.过O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，∵三个不共线的向量OA,OB,OC，满足OA·(ABAB+CACA)=0，∴OA·BABA=OA·CACA，即|OA|·cos∠DAO·|