2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（三）本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.命题“，”的否定为()A.， B.，C.， D.，[解析]易得全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”.故选C.√2.已知为纯虚数，则的所有可能取值所构成的集合的子集个数为()A.3 B.4 C.2 D.1[解析]由纯虚数的定义可得，解得或，故其构成集合的子集个数为.故选B.√3.已知，且，则()A. B. C. D.[解析]由诱导公式可得，解得或，因为，可得，，所以，.故选A.√4.数学在生活中无处不在，如图所示，某建筑工人在施工时经常使用双面折叠人字梯，其每层的空心圆柱形梯杆宽度从上往下依次构成从小到大的等差数列，且该人字梯共有5层，第1层梯杆的宽度为37厘米，第5层梯杆的宽度为45厘米，则第4层梯杆的宽度为()A.39厘米 B.43厘米 C.41厘米 D.42厘米[解析]设从第1层开始，梯杆的宽度从小到大构成等差数列，公差为，由题意可得厘米,厘米，则，解得，故厘米.故选B.√5.若对于向量，，满足，则称为的绝对增值向量，若为的绝对增值向量，则的最小值为()A. B. C.2 D.3[解析]由题意可得，即，解得，故，其最小值为.故选B.√6.已知,,，则()A. B. C. D.[解析]由题意可得，且，又,故，综上所述，.故选D.√7.已知函数在区间上单调，在处取得极值，则()A.1 B. C.2 D.3[解析]因为在上单调，所以的周期，所以，又因为在处取得极值，即关于对称，所以，，即,，又，所以.故选C.√8.已知椭圆和双曲线的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，与在第一象限有交点，若，则与的离心率的倒数之差为()A. B. C.1 D.2[解析]不妨设椭圆，双曲线，与的离心率分别为，，由椭圆的定义，有，由，得，故，由双曲线的定义，有，故，因此，两边同时除以，有.故选C.√二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.某林场为了解其内树木的生长高度（单位:米）情况，从该林场内抽取样本，得到该林场内树木生长高度的样本均值，样本方差，假设该林场内树木的生长高度服从正态分布.该林场规定:在该林场生产中，对于服从正态分布的随机变量，若在外，则可以认为本批次生产的树木是有问题的.则该林场中()A.有一半的树木的生长高度为3.2米B.C.若抽取的样本的生长高度均在中，则不认为本批树木生产有问题D.若抽取的样本中有一棵树木的生长高度为，则本批树木生产有问题√√[解析]依题意知，服从正态分布，可知该林场内树木的平均生长高度为3.2米，而不是有一半的树木的生长高度为3.2米，故A错误；由正态分布的对称性可知B正确；对于服从正态分布的随机变量，因为，故，故若在，即外，则认为本批树木生产有问题，故若抽取的样本的生长高度均在中，则不认为本批树木生产有问题，故C正确；若抽取的样本中有一棵树木的生长高度为，其在内，仍然不认为本批树木生产有问题，故D错误.故选.10.在三棱柱中，，的中点为，的中点为，与交于点，与交于点，则()A.直线与直线异面B.C.若，则平面D.平面[解析]如图，√√√对于A，因为平面，平面，故与平面的交点为，且是唯一的，又，，三点不共线，所以不经过点，又平面，所以直线与直线没有交点，即直线与直线异面，故A正确；对于B，因为的中点为，的中点为，所以点是的重心，，因为且，则，可得,则,所以，故B正确；对于C，由，为的中点，可知，又，，平面，平面，所以平面，故C正确；对于D，假设平面，因为，平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，显然不成立，矛盾，故D错误.故选.11.如图，某人设计了一个实用的门把手，其造型可以看作曲线的一部分，则()A.点在上B.将在轴上方的部分看作函数的图象，则是的极小值点C.在点处的切线与的交点的横、纵坐标均为有理数D.在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于√√√[解析]将代入的方程，等式两边成立，故A选项正确；对于在轴上方的部分，可知函数，则，，故B选项错误；由B选项知切线斜率为，则切线方程为，将其与的方程联立，得，故切线与的交点的坐标为，横、纵坐标均为有理数，故C选项正确；设是在轴左边的部分上的点，显然，则其到坐标原点的距离为，要使该距离大于，只需要，，当时，不存在，可知，即，又因为，故，即成立，所以D选项正确.故选.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.为了更好地应对新高考改革以及调整日常教学，某地区教育局对该地区的三所高中的二年级学生进行了抽样调查，采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加物理学科的抽样质量测试，其中校、校、校的学生人数分别为300人、500人、200人，考试结束后对这1000名同学的物理成绩进行统计，得知，，三所学校的高二年级的物理平均分依次为60分、75分、58分，则这1000名同学物理成绩的总平均分为_____分.67.1[解析]由分层抽样的平均数计算可得总样本1000名同学物理成绩的总平均分为分.13.的展开式中项的系数为_____.（用数字作答）[解析]由题意知的通项公式为，的通项公式为，则的通项公式为，令，解得，则的系数为.14.已知当时，，则正数的最小值为__.[解析]由题意可得，令函数，原不等式等价于，，故在上单调递增，又，,即恒成立，即恒成立，即，令函数，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，故，正数的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）记的内角,,所对的边分别为,,，，且.（1）求；解:由题得，（2分）即，又，则,所以，因为，所以.（5分）（2）求面积的最大值;解:由余弦定理可得，所以，当且仅当时取等号，（7分）所以的面积,即面积的最大值为.（9分）（3）证明:.解:由余弦定理得，即，当且仅当时取等号.（13分）16.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，四边形是正方形，,,，点是棱的中点.（1）证明:;解:取的中点为，连接,，则，（2分）而，解得,故,（3分）,平面,平面,平面，平面，.（6分）（2）求直线与平面所成角的余弦值.解:由（1）可知平面平面,以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,，（7分）,，，,,，，，则，（9分）又点在平面内，且，故有,则,,,记平面的法向量,则,即，令，则，，，（12分）记直线与平面所成角为，则,（14分）则，即直线与平面所成角的余弦值为.（15分）17.（本小题满分15分）已知抛物线的焦点为，点在上，且，其中为坐标原点，过点的直线与相交.（1）求的方程；解:由抛物线的定义可知，又，则，即，所以，又在抛物线上，所以，且，解得，（3分）则的方程为.（4分）（2）若与仅有一个公共点且斜率存在，求的斜率；解:设直线的斜率为，则，联立，可得，当时，，符合题意；（6分）当时，则有，解得，（7分）综上，直线的斜率为0或.（8分）（3）若与交于,两点，记直线与直线的斜率分别为,，证明:为定值，并求出该定值.解:由题得的斜率存在且不为零，设的方程为，,，联立，可得，，即，（10分）可得,，故,，（12分）则，所以为定值.（15分）18.（本小题满分17分）已知函数，.（1）求曲线在点处的切线方程；解:由题意可得，，，（2分）故曲线在点处的切线方程为.（3分）（2）探究函数的零点个数；解:令，得，即，即，即，（7分）令，则，即，，无解，则的零点个数为0.（11分）（3）证明:当时，；当时，.解:令函数，记函数，则，令，则，故时，；时，，所以即在上单调递减，在上单调递增，（15分）所以，故在上单调递增，又，，故当时，，即；当时，，即，得证.（17分）19.（本小题满分17分）设和是整数数列，若对于任意，都有，我们就称数列和为一组耦合数列.（1）若数列和为一组耦合数列，且，都有，且，求数列的通项公式；解:因为，所以，即或.（3分）又，得，.（4分）（2）若数列和为一组耦合数列，证明:；解:因为，所以，得证.（9分）（3）若数列和为一组耦合数列，探究是否存在,使得对于某个，从,,,中任取一个数，这个数是的概率大于.若存在，请说明理由；若不存在，给出反例.解:由（2）知，又和是整数数列，则，使得对于某个，，有，（11分）此时，所以，，（14分）取此，则.（15分）令，则到中至少有个等于，（16分）即从,，,中任取一个数，这个数是的概率大于，故存在.（17分）