浙江省北斗星盟2025届高三下学期模拟考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|00,|φ|<π2)和函数g(x)=2cos(ωx+φ)的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为22，且f(1)=g(1)，则(    )A.ω=4π，φ=π4 B.ω=4π，φ=π3C.ω=8π，φ=π4 D.ω=8π，φ=π37.已知函数f(x)满足f(1)=2，且对∀x∈R，f(x+1)=1−1f(x)，则满足i=1nf(i)≤1015的正整数n的最大值为(    )A.2026 B.2027 C.2028 D.20298.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:(x2+y2)2=2x2−2y2，若点P为曲线C上的动点，则|OP|的最大值为(    )A.22 B.2 C.2 D.22二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分.已知A，B每次点球命中的概率分别为PA，PB，(PA,PB∈(0,1))，若5轮比赛后A，B的总得分分别为XA，XB，则下列结论正确的是(    )A.若E(XA)b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且|AF1|=|F1F2| =2，P为C上位于第一象限内的点，且|PF1|⋅|PF2|=185，∠F1PF2的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是(    )A.椭圆C的离心率e=12 B.cos∠F1PF2=35C.△PF1F2的内切圆半径为55 D.|F1M||PF1|=2311.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形，AB⊥PD，PA=PD=2，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为O1，其外接球球心为O2，则下列结论正确的是(    )A.平面PAD⊥平面ABCDB.四棱锥P−ABCD的内切球半径为2−1C.四棱锥P−ABCD的体积为223D.O1O22=4−22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=ex−a,x>0,be−x−2,x<0为奇函数，则a+b=          ．13.已知α，β∈(0,π2)，且满足sinαtanβ=2cos2α2，则tan(α+β)=−12，则sin2β=          ．14.人工智能(Artificial Intelligence)，英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学.某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖;如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=2，PD=AB=4，M，N为别为棱PB，CD的中点．(1)证明：MN//平面PAD;(2)求平面PMN与平面AMN的夹角的余弦值．16.(本小题15分)已知函数f(x)=a(x−1)ex−2x．(1)若曲线y=f(x)在x=−1处的切线过点(0,−3)，求实数a的值;(2)当1e2−3．17.(本小题15分)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=2，BD=22，∠AOB=3π4，且△AOD和△BOC的外接圆半径相等．(1)若AB=2，求OA的长;(2)若sin2∠DAO+sin∠OBC=1，求∠BCO．18.(本小题17分)已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，且四点A(3,2)，B(2,6)，C(2,−6)，D(3,2)中恰有三点在E上．(1)求双曲线E的标准方程;(2)如图，P，Q，R分别为双曲线E上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点O分别作直线PQ，PR的垂线，垂足分别为M，N，且|OM|=|ON|=2．(ⅰ)证明：Q，O，R三点共线;(ⅱ)求△PQR面积的最小值．19.(本小题17分)已知数列{bn}的前n项和为Sn，且b1=1，2Sn=nbn+1，当数列{bn}的项数大于2时，将数列{bn}中各项的所有不同排列填入一个n!行n列的表格中(每个格中一个数字)，使每一行均为这n个数的一个排列.将第i(1≤i≤n!,i∈N)行的数字构成的数列记作{ain}，将数列{ain}中的第j(1≤j≤n,j∈N)项记作aij.若对∀i，j，均有aij≠bj，则称数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为M．(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)当数列{bn}的项数为4时，求M的值;(3)若数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，试讨论j=1n|aij−bj|的最小值．参考答案1.A 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C 7.C 8.B 9.ACD 10.AC 11.ABD 12.−3 13.45 14.80243 15.(1)证明：取AB中点E，连接ME，NE，因为底面ABCD为矩形，N为CD的中点，所以EN//AD，因为M为PB中点，所以ME//PA，因为EN∩ME=E，EN、ME⊂平面MEN，所以平面MEN//平面PAD， 因为MN⊂平面MEN，所以MN//平面PAD．(2)解：由题，直线DA，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,4)，M(1,2,2)，N(0,2,0)，设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z)，则m⋅PM=0m⋅PN=0，即x+2y−2z=02y−4z=0，令y=2，得x=−2，z=1，所以m=(−2,2,1)．同理可得平面AMN的一个法向量为n=(2,2,−1)，|cos|=|m⋅n||m|⋅|n|=|−4+4−1|3×3=19，所以平面PMN与平面DMN的夹角的余弦值为19.  16.解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)=axex−2，所以f′(−1)=−ae−2，又f(−1)=−(2ae−2)，所以线f(x)在x=−1处的切线方程为y+2ae−2=(−2−ae)(x+1)，将点(0,−3)代入得3ae=3，解得a=e．(2)证明：f′(x)=axex−2，设g(x)=axex−2，则g′(x)=a(1+x)ex，因为1e20，g(x)即f′(x)单调递增：当x<0时，f′(x)<0，f′(0)=−2<0，f′(1)=ae−2<2e×e−2=0，f′(2)=2ae2−2>2×1e2×e2−2=0，所以存在唯一的x0∈(1,2)，使得f′(x0)=0，即ex0=2ax0，且当x∈(−∞,x0)时，f′(x0)<0，f(x)单调递减;当x∈(x0+∞)时，f′(x0)>0，f(x)单调递增;所以当1e2−3，得证． 17.解：(1)由题，∠BOC=∠AOD=π4，因为△AOD和△BOC的外接圆半径相等，由正弦定理得BCsin∠BOC=ADsin∠AOD，所以BC=AD，设OC=x(0