北京市朝阳区20222023学年度第一学期期末质量检测高三数学参考答案2023.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）A（3）C（4）D（5）D（6）A（7）B（8）C（9）C（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）3（11）24（12）5−n10（13）41（14）y=−（15）②③④44三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为cBbCsin3cos=，所以sinCBBCsin=3sincos．又因为B(0,π)，所以sinB0．所以tanC=3．又因为C(0,)，π所以=C．3（Ⅱ）因为ab+=6，，由余弦定理c2=a2+b2−2abcosC，得πc22=(a+b)−2ab−2abcos=36−3ab．3ab+因为ab≤()2=9，当且仅当ab==3时等号成立，2所以c2≥9，解得c≥3．所以c的最小值为3．高三数学参考答案第1页（共8页）（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）设事件A1为“高三（1）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”．根据题中数据，高三（）班共训练10次，跳绳个数超过120个的共5次．51所以PA()估计为=．1102（Ⅱ）设事件Ak为“高三（k）班在此次跳长绳比赛中获得优胜奖”，k=1,2,3,4．2142根据题中数据，PA()估计为=，PA()估计为，PA()估计为=．2423463根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,,2,3,4，且PXPAAAAPAPAPAPA(=0)=(1234)=()()()()1234；PXPAAAAPAAAAPAAAAPAAAA(1)()()()()==1234+1234+1234+1234=+PAPAPAPAPAPAPAPA()()()()()()()()12341234++PAPAPAPAPAPAPAPA()()()()()()()()12341234；PXPAAAAPAAAAPAAAAPAAAA(3)(==1234)(+1234)(+1234)(+1234)=+PAPAPAPAPAPAPAPA()()()()()()()()12341234++PAPAPAPAPAPAPAPA()()()()()()()()12341234；PXPAAAAPAPAPAPA(=4)=(1234)=(1)(2)(3)(4)；PXPXPXPXPX(=2)=1−(=0)−(=1)−(=3)−(=4)．157所以，PX(=0)估计为；PX(=1)估计为；PX(=3)估计为；24242413PX(=4)估计为；PX(=2)估计为．1281537151821813+++所以EX估计为0+1+2+3+4==．242482412246（Ⅲ）在此次跳长绳比赛中，高三（）班获得冠军的概率估计值最大．高三数学参考答案第2页（共8页）（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）取PA的中点K,连接KF,KB.因为,F分别是,PD的中点,1所以KF//AD且KFA=D.21又BEAD//且BEA=D，2所以KFBE//且KFBE=.故四边形BEFK为平行四边形.所以EFBK//.又因为EF平面PAB，BK平面，所以EF//平面.（Ⅱ）取AD中点O，连接OP,OE.在△PAD中，因为PA=PD，所以PO⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，所以PO⊥平面.故OP⊥OA,OP⊥OE.又在正方形中，OE⊥OA,所以OA,,两两垂直.如图建立空间直角坐标O−xyz，设P(0,0,2t)(t0)，则O(0,0,0),B(2,4,0),D(−2,0,0),E(0,4,0),Ft(−1,0,).所以EB=(2,0,0)，EF=(−1,−4,t)，DP=(2,0,2t).设平面BEF的法向量为n=(,,)x0y0z0，则n=EB0,2x0=0,即令yt0=，则x0=0,z0=4．于是n=(0,t,4)．n=EF0,−x0−4y0+tz0=0.又因为平面ABE的一个法向量为m=(0,0,1)，高三数学参考答案第3页（共8页）mn4所以cosmn,==．|mn|||t2+16选择条件①：PDE⊥F．则EFD=P0，即−2+2=0t2．又t0，所以t=1．417此时cos,=mn．17417由题知二面角FB−−EA为锐角，所以其余弦值为．172选择条件②：PD=EF．3则32221422+=−+−+（）（）（）tt222，得t2=1．此时．由题知二面角为锐角，所以其余弦值为．（19）（本小题15分）11解：（Ⅰ）因为△AOP面积的最大值为ab，所以ab=1．22又因为a=2，c2=−a2b2，所以b=1，c=3．x23所以椭圆C的方程为+=y21，离心率为．42（Ⅱ）①当直线PH的斜率不存在时，直线的方程为x=−1．显然△APQ∽△AEF．223因为|PQ|=3，所以|EF|=|PQ|=2．不合题意．33②当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=+k(x1)．y=+k(x1),由得2222．22(1+4k)x+8kx+(4k−4)=0xy+=44显然0．高三数学参考答案第4页（共8页）8k244k2−设Px(y,)，Qx(y,)，且x2，则xx+=−，xx=．112211214+k21214+k2y直线AP的方程为yx=−1(2)．x1−2−2y1−2y1令x=0，得点E的纵坐标yE=，则E(0,)．x1−2x1−2y直线AQ的方程为yx=−2(2)．x2−2−2y同理可得F(0,2)．x2−2−−22(2)(2)yyyxyx−−−所以|||EF=−=12|2|2112|xx1−−22(2)(2)2xx12−−kxxkxx(1)(2)(1)(2)+−−+−=2|2112|(2)(2)xx12−−xx−=6|||k12|2=．xxxx1212−++2()4所以3|k||x1−x2|=|x1x2−2(x1+x2)+4|．2即3k(x1+x2)−4x1x2=x1x2−2(x1+x2)+4．8k24k2−−44k248k2可得3|k|(−)2−4=|+2+4|．1+4k21+4k21+4k21+4k243kk22+1366化简得3|k|=．解得k=．1++4kk22146所以直线PH的方程为xy−6+1=0或xy+6+1=0．（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）fx()的定义域为(0,+)．lnx1−lnx由fx()=得fx()=．axax2令fx()=0得x=e．因为a0，所以当x(0,e)时，fx()0；当x(e,+)时，fx()0．所以的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,+)．高三数学参考答案第5页（共8页）（Ⅱ）由a0，依题意，lnxaxx−+2≤0在x+(0,)上恒成立．设gxxaxx()ln=−+2，1−2ax2+x+1则g(x)=−2ax+1=．xx118−+a118++a令gx()=0，得x=0（舍），x=0．14a24a当xx(0,)2时，gx()0，所以gx()在(0,)x2上单调递增；当xx(,)2+时，gx()0，所以在(,)x2+上单调递减．2故gxgxxaxx()()lnmax2222==−+．x+1又由gx()0=得ax2=2．222xx+−11所以g(x)=lnx−22+x=lnx+．222222x−1依题意需gx()≤0，即lnx+2≤0．max22t−1设h(t)=+lnt，则易知ht()在(0,+)为增函数．2又h(1)=0，所以对任意的t(0,1]，有ht()≤0；对任意的t(1,+)，有ht()0．1++18a所以01x2≤，即01≤，解得a≥1．4a所以a的取值范围为[1,+)．lnxx12ln（Ⅲ）由x2lnx1+x1lnx2=0(x1x2)得+=0，且x11,x21．xx12lnx由（Ⅱ）知，当a=1时，≤x−1，当且仅当x=1时取等号．xlnx1lnx2所以−x11，−x21．x1x2lnxx12ln两式相加得+xx21+−2，即xx12+−20．xx12故xx12+2．高三数学参考答案第6页（共8页）（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）a5=5，a6=6，a7=7，a8=8．（Ⅱ）对任意n4，存在in{1,2,,−1}，使得an=+aian−i．若i4或ni−4，则a或a又可以写成数列中某两项的和，如a=a+a()i+i=i．ini−ii12i12依此类推，存在jjj,,,{1,2,3,4}，使得aaaa=+++，12knjj12jk其中jjjn12+++=k．所以存在pppp1234,,,N，使得apapapapan=+++11223344，且ppppn1234+++=234．a设4=t，则当n≤4时，ant≤．4n当时，an=pa11+pa22+pa33+pa44≤ptp1+22tp+33tp+44t=(p1+2p2+3p3+4p4)t=nt．aa所以，对任意nN，均有，即n≤4．n4a（Ⅲ）令b=−nta，其中t=4．由（Ⅱ）知b≥0，b=0.nn4n4由bi+4(k+1)−bi+4k=[i+4(k+1)]t−ai+4(k+1)−[(i+4k)t−ai+4k]=4t−ai+4(1)k++ai+4k=(a4+ai+4k)−ai+4(1)k+≤0，得bbi+4k≥i+4(k+1)．所以，当i=1,2,3,4时，bi≥bi++48≥bi≥≥0.由（Ⅱ）知bn=(p1+2p2+3p3+4ptpapapapa4)−(11223344+++)=pta1(−1)+pta2(2−2)+pta3(3−3)+pta4(4−4)=p1b1+p2b2+p3b3+p4b4.高三数学参考答案第7页（共8页）若bbbb1234====0，则bn=0．此时antn=，当n4时，annaa=+44−.若b1,,b2b3不全为0，设Mbbb=max{,,}123，m为中最小的正数，则bMn≤．MMM当某个b0时，必有p≤．否则p，则b≥pbm=M.iimimniimM设不超过的最大整数为N，m04则pbpbpbpb11223344+++能表示的不同值的个数不超过(1N)0+．所以，对每一个i=1,2,3,4，biiib,b,,++48只能取有限多个值.所以存在k0N，当pk≥p0,N时，bip+4为常数．令Nk=+440，则当nN时，bbnn+4=，即(4)ntanta+−=−nn+4．故．高三数学参考答案第8页（共8页）