丰台区2022～2023学年度第一学期期末练习参考答案高三数学2023.01一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案BCBADCACBC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．[1−0+,,)(0)12．−2；513．(0,4)14．415．①④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题13分）D1C1（Ⅰ）证明：连接CD，交DC于点M，B111A1MF依题意知，四边形CDD11C为正方形，所以是D线段CD1的中点，CEAB连接EM，因为E为棱BC的中点，所以EM//BD1，因为EM平面DC1E，BD1平面，所以BD1//平面.………………5分（Ⅱ）解：设正方体ABCD−ABCD的棱长为1,1111zD以D为坐标原点，DA，DC，DD所在的直1C11B1A1线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间F直角坐标系，则,,，,,，,,，,,，D(000)B(110)D1(001)C1(011)DyCEC(0,,10)，xAB因为点F是线段BD1的中点，为棱的中点，1111所以F(),,，E(,,10)，2222高三数学答案第1页（共6页）1111所以DF=(),,，DC=(0,,11)，DE=(10,,).22212设u=()x,,yz是平面DC1E的一个法向量，则u=D+C=yz0,11u=D+E=xy0.2取y=1，则x=−2，z=−1.于是u=(1,,−−21)是平面的一个法向量.设直线DF与平面DC1E所成角为，11−−1DFu222所以sincos====DF,u，DFu33622所以直线DF与平面所成角的正弦值为.………………13分317.（本小题14分）ab解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理=，得asinB=bsinA，sinABsin因为2asinB=2b所以2bsinA=2b，因为b0，2所以sinA=，2因为0Aπ，π3π所以A=或A=；………………7分44（Ⅱ）若选择①，在△ABC中，0Cπ，10310因为cosC=−，所以sinC=．1010又因为，ABC++=πππ所以sinBACCC=sin(+)=sincos+cossin4421023105=()()−+=2102105高三数学答案第2页（共6页）5=，531022bCsin在△ABC中，由正弦定理可得c==10=6，sinB55112所以SbcAsin2266.………………14分△ABC222若选择②，abbsinA在△ABC中，因为=，所以sinB=，sinABsina2因为a=2，b=22，sinA=，22所以22，sinB==212π因为B(0,π)，所以B=，2所以ba222c，所以cb222a=−=4，所以c=2，112所以SbcsinA2222．△ABC22218.（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意10(0.004+0.012+0.014+a+0.024+0.028)=1所以a=.0018；………………3分（Ⅱ）记“一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁”为事件A，PA()=10(0.004+0.012+0.014)=0.3，所以估计一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁的概率为0.3.X可能取值为0,1,2.02PXC(=0)=20.7=0.49；1PXC(=1)=20.30.7=0.42；22PXC(=2)=20.3=0.09.所以X的分布列为X012P0.490.420.09EX()=00.49+10.42+20.09=6.0.……………11分（或因为XB~(2,0.3)，所以EX()=20.3=0.6）（Ⅲ）mn.………………14分19.（本小题15分）高三数学答案第3页（共6页）a=2,c2解：（Ⅰ）由题意得=,a2222a=+bc,解得a2=4，b2=2.x22y所以椭圆E的方程是+=1.………………5分42m（Ⅱ）因为A(2−0),，Pm(2,)，所以直线AP的方程为yx=+(2)（m0）.4myx=+(2)2222由4得(m+8)x+4mx+4m−32=0，22x+=24y即(x+2)[(m22+8)x+(2m−16)]=0.21m62−因为点A的横坐标为−2，所以点C的横坐标为x=−，m2+8m2m2−168m代入直线AP的方程可得点的纵坐标为y=(−+2)=，4mm22++882mm2−168即C()−,.mm22++88又点B的坐标为(2,0)，8m22所以k=m+8=−，22m2−16m−−2m2+8mm2又因为k=，所以kk=(−)=−1.12122m即kk12为定值−1.………………15分20.（本小题15分）1解：（Ⅰ）由题意得，f(x)=+cosx，所以f(1)=+1cos1，x又f(1)=sin1，所以曲线y=f()x在点(1,f(1))处的切线方程为yx−sin1=(1+cos1)(−1)，即yx=(1+cos1)+sin1−cos1−1；………………4分（Ⅱ）因为，1因为y=和yx=cos均在区间因为[1,e]上单调递减，x所以fx()在区间上单调递减，11211因为f(1)=1+cos10，f(e)=+cose+cos=−0，ee3e2高三数学答案第4页（共6页）所以fx()0=在(1,e)上有且只有一个零点，记为x0，所以xx[1,)0时，fx()0；xx(e]0,时，fx()0，所以fx()在区间[1,)x0上单调递增，在区间(x0,e]上单调递减.因为ff(1)sin1(e)1sine==+,，所以在区间[1,e]上的最小值为sin1.………………10分（Ⅲ）函数的定义域为{|xx0}，由（Ⅱ）知，在区间上的最小值sin10，又当x+(e,)时，fxxx()lnesin1sin0+=+，所以在区间[1,)+上没有零点；1当x(0,1)时，f(x)=+cosx0，所以在区间(0,1)上单调递增，x11因为ff()1sin0(1)sin10=−+=,，ee所以在区间上仅存在一个零点；综上所述，函数有且仅有一个零点.………………15分21.（本小题14分）解：（Ⅰ）数列A是P(2)数列，数列B不是数列.………………3分（Ⅱ）不存在正实数，使得数列{}bn是P()数列.说明理由如下：假设存在正实数，使得数列是数列.*则bbnn+1+，nN.因为bnn+1=b+n+31−n+，21所以b−b=n+31−n+=，nn+1n+31+n+n1当n时，bb−，这与假设矛盾.2nn+1所以不存在正实数，使得数列是数列.………………7分（Ⅲ）因为数列{}an是P(1)数列，则aann+1+1，所以amam−−1+1am2+2a1+(m−1)m所以aamm−1−1，am−−21am−12am−，am−−32am−13am−，……，a23a−1am−(m−2)，a12a−1am−(m−1)高三数学答案第5页（共6页）mm(1)−所以aaaama++++−++++−=−[123(1)]mma123mmm2mm(−1)即150−mam21501m所以a+−，mm221503115031mm所以am++−=−230，mmm2222所以amm+的最小值不小于30.15031m假设am+=30，必有+−30，mm2225解得m12，3因为mN*，所以m=9,1,0,1112，当m=9时，am=21，存在满足条件的数列aaaaaaaaa123456789=========101415161718192021,,,,,,,,；当m=10时，=20，存在满足条件的数列a12345678910=6,,,,,,,,,a=12a=13a=14a=15a=16a=17a=18a=19a=20；当m=11时，=19，存在满足条件的数列a1=5,,,,,,,,,a2=10a3=11a4=12a5=13a6=14a7=15a8=16a9=17aa10==18,1119；当m=12时，=18，存在满足条件的数列a123456=7,,,,,,,,,,a=8a=9a=10a=11a=12a78910=13a=14a=15a=16aa11==17,1218.以上都是amm+=30的充分条件.所以的最小值为30，此时的所有可能取值为18，19，20，21.…14分高三数学答案第6页（共6页）