专题10与等差数列相关的结论一、结论设Sn为等差数列{an}的前n项和.(1)ana1(n1)d;anam(nm)d(2)pqmnapaqaman(m,n,p,qN)(3)pq2mapaq2am(m,p,qN);(4)Sm,S2mSm,S3mS2m,S4mS3m构成等差数列.SddS(5)nn(a)是关于n的一次函数或常数函数，数列{n}也是等差数列.n212nn(aa)n(n1)d(6)S1nnan212(7)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项S偶am1之和S2mm(amam1),S偶S奇=md,=.S奇am(8)若等差数列{an}的项数为奇数2m1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S奇mS2m1(2m1)am,S奇mam,S偶(m1)am,S奇S偶=am,.S偶m1anS2n1(9)在等差数列{an}，{bn}中，它们的前n项和分别记为Sn,Tn则.bnT2n1二、典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）等差数列an的前n项和Sn，若Sn1,S3nSn5，则S4n（）A．10B．20C．30D．15例题2．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）已知数列an为等差数列，若a23a80，a6a70，且数列an的前n项和有最大值，那么Sn取得最小正值时n为（）A．11B．12C．7D．6例题3．（2023春·山西忻州·高二河曲县中学校校考开学考试）设等差数列an,bn的前n项和分别为Snn1a10Sn,Tn，若,则（）Tn2n6b10561121A．B．C．D．11112646例题4．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列an与等差数列bn的前n项和分别为Sn，Tn.若对于S2n1a任意的正整数n都有n，则8（）Tn3n1b935313135A．B．C．D．52504846例题5．（2023·全国·高二专题练习）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2023秋·广东江门·高二统考期末）已知an为等差数列，a1a3a545，a2a4a633，则S10等于（）A．250B．410C．50D．622．（2023秋·山西运城·高二统考期末）公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若S2023S2021S2022，则下列选项正确的是（）A．d0B．an0时，n的最大值为2022C．Sn有最大值D．Sn0时，n的最大值为40443．（2023·高二课时练习）等差数列an的前n项和为Sn，若S7S8S6，则下列结论：①a70；②a80；③S130；④S140，其中正确结论是（）A．②③B．①③C．①④D．②④4．（2023秋·河南周口·高二项城市第一高级中学校考期末）设等差数列an的前n项和为Sn，若S316，S68，则S12（）A．50B．60C．70D．805．（2023秋·湖北黄冈·高二湖北省红安县第一中学校考期末）两个等差数列an和bn，其前n项和分别Sn3n2a2a20为Sn，Tn，且，则等于（）Tnn3b7b1592565149A．B．C．D．4242424Snn6．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列an与等差数列bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，Tnn1a那么8的值为（）b713141516A．B．C．D．12131415二、多选题a97．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知等差数列an，其前n项和为Sn，若S150,1，则下列结a8论正确的是（）A．a9a8B．使Sn0的n的最大值为16C．公差d0D．当n8时Sn最大*8．（2023秋·山东烟台·高二统考期末）已知等差数列an的前n项和为SnnN，若a10,S4S12，则（）A．公差d0B．a7a90C．Sn的最大值为S8D．满足Sn0的n的最小值为169．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）已知递减的等差数列an的前n项和为Sn,S5S9，则下列结论正确的是（）A．a80B．S7最大C．S140D．S13010．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列an的前n项和为Sn,S6S7，且S7S8，则（ ）A．在数列an中，a1最大B．在数列an中，a3或a4最大C．S3S10D．当n8时，an011．（2023秋·湖南益阳·高二统考期末）已知两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，且S5n13an，则使得k为整数的k的取值可以是（）Tnn1bkA．4B．3C．2D．1三、填空题12．（2022春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考阶段练习）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，则公差d为_________.13．（2023秋·河南商丘·高二校联考期末）已知等差数列an的前n项和为Sn，若数列S3,S6S3,S9S6,2的前n项和为6n3n，则a101______.Sn2na1114．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若，则Tn3n1b11＝________.四、解答题15．（2022·高二课时练习）已知等差数列an中，前m（m为奇数）项的和为77，其中偶数项之和为33，且a1am18，求通项公式．