专题11圆锥曲线易错点一：求轨迹方程时忽略变量的取值范围（求动点轨迹方程）求轨迹方程共有四大类，具体方法如下：第一类：直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：第一步：建系：建立适当的坐标系第二步：设点：设轨迹上的任一点第三步：列式：列出有限制关系的几何等式第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．第二类：定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．第三类：相关点法求动点的轨迹方程如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．第四类：交轨法求动点的轨迹方程在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．例．已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.求曲线的方程；【详解】圆的圆心为，半径，因为，所以，又因为，所以所以所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上设双曲线的方程为，则，所以，，，又不可能在轴上，所以曲线的方程为变式1．在平面直角坐标系中中，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，的轨迹为.求曲线的方程；【详解】设动点的坐标为，由已知得，化简得：，故曲线的方程为变式2．已知y轴右侧一动圆Q与圆P：相外切，与y轴相切.求动圆圆心Q的轨迹M的方程；【详解】圆P：，所以圆P的圆心坐标为，半径为1设，依题意有化简整理得：，故所求动圆圆心Q的轨迹M的方程为变式3．已知点，点，点是轴上的动点，点在轴上，直线与直线垂直，关于的对称点为．求的轨迹的方程；【详解】方法1：设因为，所以，即又，所以，所以方法2：如图，设关于的对称点为，由已知得，互相垂直平分所以四边形为菱形，所以因为为中点，所以，即点在定直线上，因为，所以与直线垂直，即点到定点的距离等于点到定直线的距离所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以点的轨迹的方程为1．已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切．求动圆圆心的轨迹的方程．【详解】设点的坐标为，圆的半径为．由已知条件，得．①当动圆与圆外切，与圆内切时，，从而．②当动圆与圆内切，与圆外切时，，从而．综上可知，圆心的轨迹是以为焦点，6为长轴长的椭圆．易得圆与圆交于点与，所以动圆圆心的轨迹的方程为．2．在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；【详解】设，依题意，得，化简得，故的方程为．3．设抛物线的方程为，其中常数，F是抛物线的焦点．(1)若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；(2)设是点关于顶点O的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；(3)设是两条互相垂直，且均经过点F的直线，与抛物线交于点,与抛物线交于点，若点G满足，求点G的轨迹方程．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）可令，代入抛物线方程，计算可得弦长继而得；（2）根据抛物线定义转化线段比值，结合直线与抛物线的位置关系计算即可；（3）设坐标及方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理以及两直线垂直的条件，结合向量的坐标表示，以及消元转化，可得所求轨迹方程．【详解】（1）由可得，由题意可知；（2）易知，则，抛物线准线为，    如图所示，过作准线，垂足为B，由抛物线定义可知，故，设直线为，，则，欲求的最大值，即求的最小值，显然当直线与抛物线相切时，取得最大，此时其余弦最小，联立抛物线方程可得，由直线和抛物线相切可得，结合抛物线对称性，不妨取，此时，即；（3）  由已知可知，则，设，，则，与抛物线联立可得：，即有，同理则有，因为点G满足，即，故，可得，则G的轨迹方程为．4．已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.记的轨迹为曲线.说明是什么曲线，并求的方程；【答案】【详解】根据题意可知圆可化为，所以可知圆心，半径，易知和两点关于原点对称，且，所以由椭圆定义可知的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，即，可得；因此曲线的方程为.5．已知为圆：上任一点，，，，且满足.求动点的轨迹的方程；【答案】【详解】  如图，由，可得，因为，所以，所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，所以动点的轨迹的方程为.6．已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．求点的轨迹的方程；【答案】【详解】由得，其半径为4，因为线段的垂直平分线与直线交于点，  故，则,而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线，则，故点的轨迹的方程为.7．已知圆，一动圆与直线相切且与圆C外切．(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)若经过定点的直线l与曲线相交于两点，M是线段的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线l，使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，方程为【分析】（1）利用直接法，设出点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心P的轨迹T的方程；（2）由题意设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用，从而由向量的数量积的坐标运算于韦达定理可得，即可求出直线方程．【详解】（1）由题意知圆的圆心，半径；设，易知点在直线右侧，所以到直线的距离为，又，由相切可得，即化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为；（2）如下图所示：  设，．由题意，设直线l的方程为联立T的方程可得则，由韦达定理可得，，所以，，假设存在，使得,则，又，所以；，由可得，所以，代入化简可得，解得，∴存在直线，使得.8．圆，圆心为，点，作圆上任意一点与点连线的中垂线，交于.求的轨迹的方程；【答案】【详解】连接，则，其中，则，所以，故的轨迹为以两点为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，故，，所以的方程为；9．已知，，对于平面内一动点，轴于点M，且.求点Р的轨迹C的方程；【答案】当，；当，【详解】设，则，从而由，有，若，化简整理得；若，化简整理得.10．在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.求C的方程；【答案】【详解】因为点、，的内切圆与直线相切于点，所以，因此根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支，设点的轨迹C的方程为，焦距为，所以，，所以，，，所以点的轨迹方程C为易错点二：忽略了给定条件对e范围的限定（离心率的求算）求离心率范围的方法建立不等式法：技巧1：建立关于和的一次或二次方程与不等式．技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．技巧5：涉及的关系式利用基本不等式，建立不等关系．易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意.例．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【分析方案】由，令且，，则，根据题设有、、，进而有，将它们整理为关于的齐次方程求离心率即可【详解】由题设，令且，，则，且①由，即②由，即又C在双曲线上，则③由①得：，代入③并整理得：由①②及得：所以，即显然，则，故选：B变式1．已知分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（  ）A． B． C． D．2【分析方案】根据双曲线定义得到，由三角形面积公式和余弦定理求出，两边同除以得到，求出离心率【详解】∵分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，∴，，又∵在中，∵，∴，则又∴，即，故，解得：∵，∴故选：A变式2．已知双曲线的上焦点为，点P在双曲线的下支上，若，且的最小值为7，则双曲线E的离心率为（    ）A．2或 B．3或 C．2 D．3【分析方案】根据双曲线定义将转化为，数形结合即可求解【详解】设双曲线的下焦点为，可知，则，即则当且仅当三点共线时，等号成立，由题意可得，且因为在上单调递增，且，所以方程，且，解得，则，所以双曲线E的离心率为，故选：D变式3．过双曲线：的右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率是（    ）A． B．或 C． D．【分析方案】根据题意，可得，两种情况，分别求解，结合双曲线的性质，代入离心率公式，即可得到结果【详解】如图①，当时，设，则，设，双曲线的渐近线方程为，所以，在中，，设，，，因为，所以又，所以，所以，，，则，则，且，即，解得，所以，如图②，当时，设，，设，则，，在中，，设，，，因为，所以，又，所以，所以，，，，则，，，所以，则，所以，即，解得，所以故选：B1．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】连接、、，则，，设点，则，分析可得，可得出的取值范围，由可求得的取值范围.【详解】连接、、，则，，由切线长定理可知，，又因为，，所以，，所以，，则，设点，则，且，所以，，所以，，故，故选：B.2．已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用由双曲线上的点到焦点的最近距离为2得，再由离心率、可得答案.【详解】由离心率，得，由双曲线上的点到焦点的最近距离为2，得，根据这两个方程解得，则，得，所以双曲线的方程为.故选：B.3．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线C的右支上一点，且，，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到，设，结合双曲线的定义得到，则，构造函数，利用导数法求解.【详解】解：因为，，∴，又，∴．设，则，，∴，∴，则，∴．∴，则，设，则，∴在上单调递增，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．4．已知直线过双曲线的右焦点，且与双曲线右支交于，两点．若，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，，由得到，的关系，结合韦达定理得到，，之间的关系式，进而求出离心率.【详解】设，，则，．由，得．直线l的方程为，即，代入双曲线的方程中，得，即，∴，，∴，，∴，整理得．又，∴．故选:B．5．双曲线的左、右焦点分别为，，点是其右支上一点．若，，，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量法得：，然后结合双曲线定义：和余弦定理即可求解.【详解】由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则，即:，所以：，解得：，所以：，故，由，解得：，所以：，故B项正确.故选：B.6．已知直线与双曲线交于两点，点是双曲线上与不同的一点，直线的斜率分别为，则当取得最小值时，该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】联立方程求出的坐标，通过运算得到，代入，利用二次函数的知识求得取最小值时，的值，即可求解.【详解】将代入双曲线方程中，整理得，得，设，则，，所以，所以．当时，取得最小值，此时,所以，解得，所以.故选：C．7．如图所示，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足与双曲线左支的交点满足，则双曲线