赤峰市高三年级期末模拟考试试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B．C． D．2．已知i是虚数单位，若复数z满足，则（）A． B．1 C．2 D．3．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后画出频率直方图如图所示．观察图形的信息，则（）A．成绩在区间上的人数为5B．抽查学生的平均成绩是71分C．这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为55%D．若从成绩是70分以上（含70分）的学生中选1人，则选到第一名的概率（第一名只1人）为4．在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数），已知第9天检测过程平均耗时为16小时，第36天和第40天检测过程平均耗时均为8小时，那么第25天检测过程平均耗时大约为（）A．8小时 B．9.6小时 C．11.5小时 D．12小时5．在中，，．若，则（）A．3 B．2 C． D．6．设命题p：“”是“”成立的必要不充分条件是命题q：若不等式恒成立，则．下列命题是真命题的（）A． B． C． D．7．某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（）A．150 B．90 C．60 D．158．下列直线中，不是圆和公切线的一条直线是（）A． B． C． D．9．已知函数，则下列结论不正确的是（）A．的图像与直线的两个相邻交点的距离为B．C．将的图像向右平移个单位得到的图像关于y轴对称D．在区间上单调递减，则a的最大值为10．如图，在三棱锥中，平面平面，，点M在AC上，，过点M作三棱锥A-BCD外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（）A． B． C． D．11．设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（）A．或 B．或 C．或 D．或12．下列不等式中，成立的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13．曲线在点处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为______．14．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若（O为坐标原点）的面积为，则双曲线的渐近线方程为______．15．在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且，，则b的值为______．16．如图，已知正方体的棱长为1，则下列结论中正确的序号是______．（填所有正确结论的序号）①若E是直线AC上的动点，则平面；②若E是直线上的动点，F是直线BD上的动点，则；③若E是内（包括边界）的动点，则直线与平面ABC所成角的正切值的取值范围是；④若E是平面内的动点，则三棱锥的体积为定值三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）正项数列中，，，的前n项和为，从下面三个条件中任选一个，将序号填在横线______上．①，；②为等差数列；③为等差数列，试完成下面两个问题：（1）求的通项公式；（2）求证：．18．（12分）如图，在三棱柱中，，．（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值．19．（12分）2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式．为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关．男生女生合计了解不了解合计（1）求n的值．（2）现采用分层抽样的方法在调查结果“了解中国航天事业”的学生中抽取10人，再从这10人中抽取3人进行第二次调查，以便了解学生获得中国航天事业信息的渠道，则至少有2名女生被第二次调查的概率．（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国航天事业的人数为X，求X的分布列及数学期望．附表：0.100.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.82820．（12分）已知抛物线，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，相交于点P．（1）求点P的轨迹方程；（2）若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令的面积为，四边形PRFQ面积为，求的最小值．21．（12分）已知函数．（1）若，求a的值；（2）已知某班共有n人，记这n人生日至少有两人相同的概率为，，将一年看作365天．（ⅰ）求的表达式；（ⅱ）估计的近似值（精确到0.01）．参考数值：，，，．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且两曲线与交于M，N两点．（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）设点，求．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为t，若，，且，证明：．赤峰市高三1·30模拟考试试题理科数学参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DABBCBBCDADC二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．14．15．16．（1）（2）（4）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选做题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．解：（1）选①，设，则n为奇数时，，，设，则n为偶数时，，所以选②第1项，第2项，则，则，选③由己知，，，则，则，，则，经检验也成立，所以．（2），则，则18．（1）证明：设O为AB的中点，连接CO，，因为，，则，为正三角形，故，，，，平面，故平面，平面，所以；（2）由（1）可知，又，即有，故，故以O为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，故，，，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，故，由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．19．解：（1）由已知，完成列联表，并将数值代入公式可得的观测值：，所以，解得，因为，所以．（2）由（1）知，了解中国航天事业的学生共人，采用分层抽样抽取10人，抽样比为，故抽取男生人，抽取女生，从这10人中轴取3人，至少有2名女生被第二次调查的概率为．（3）由（1）知，样本的男生中了解中国航天事业的频率为，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，了解中国航天事业的概率为，则，，，，，，则X的分布列为X012345P．20．解：（Ⅰ）解法一：由已知得，由得，∴设，，，则，，∴，即，同理．又P在PA，PB上，则，所以．∵直线AB过焦点F，∴．所以点P的轨迹方程是．（Ⅰ）解法二：，设AB直线方程为，则由得，所以，，过A的切线方程为，过B的切线方程为，所以交点P的坐标为，∴点P在直线上，所以点P的轨迹方程是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，代入得，则，则，P到AB的距离，所以，∵当时，得，∴，∴，同理，．由得，∴四边形PRFQ为矩形，∵，∴，∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为2．21．解：（1）由题得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，又，且，所以是的极小值点，故．而，于是，解得．下面证明当时，．当时，，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即符合题意．综上，．（2）（ⅰ）由于n人生日都不相同的概率为，故n人生日至少有两人相同的概率为．（ⅱ）由（1）可得当时，，即，当且仅当时取等号，由（ⅰ）得．记，则，即，由参考数值得，于是，故．（二）选考题：满分10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：（1）由曲线的参数方程消去参数t，得，即曲线的直角坐标方程为．由曲线的极坐标方程，得，则，即的直角坐标方程为．（2）因为在曲线上，所以曲线的参数方程为（t为参数），代入的直角坐标方程，得．设M，N对应的参数分别为，，则，，所以．23．解：（Ⅰ）不等式等价于或或，解得或或．所以不等式的解集为．（Ⅱ）法一：由知，当时，，即．法二：，当且仅当时，取得等号，则的最小值为2，即．同法一法一：，当且仅当，不等式取得等号，所以．法二：由柯西不等式可得：．当且仅当，不等式取得等号，所以．