雅礼中学2023届高三月考试卷（三）.数学得分：__________.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21.已知集合Ax∣xx0,Bx∣yln1x，则AB（）A.0,1B.0,1C.,1D.,12.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z11i，则z1z2（）A.2B.2C.1iD.1i3.已知a,b,c,d是四条直线，,是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a,b,c,d，则与的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对4.设向量a,b满足ab10,ab6，则ab（）A.1B.2C.3D.55.已知圆x2y29的弦过点P1,2，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为（）A.y20B.x2y50C.2xy0D.x106.已知x0,y0，且xy7，则1x2y的最大值为（）A.36B.25C.16D.9x7.已知fx,gx都是定义在R上的函数，且fxgxa(a0，f1f15a1),fxgxfxgx,，则a的值为（）g1g1221A.5B.2C.D.5218.函数y的图象与函数y2sinx2x4的图象所有交点的横坐标之和等于1x（）A.8B.7C.6D.5二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列圆中与圆C:x2y22x4y10相切的是（）A.(x2)2(y2)29B.(x2)2(y2)29C.(x2)2(y2)225D.(x2)2(y2)2410.已知拋物线C:y24x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于Px1,y1,Qx2,y2两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是（）A.若x1x25，则PQ7B.以PQ为直径的圆与准线l相切设，则C.M0,1PMPP12D.过点M0,1与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条11.已知函数fx23sinxcosx2cos2x(0)，且fx的最小正周期为.将函数fx的图象向右平移个单位长度后得到函数gx的图象，则下列选项正确的是6（）A.的值为12B.fx的单调递增区间为k,k,kZ63C.x0,时，gx的最大值为32D.x0,时，gx的最小值为1212.某公司有10名股东.其中任何六名股东所持股份之和不少于总股份的一半，则下列选项正确的有（）5A.公司持股最少的5位股东所持股份之和可以等于121B.公司持股较多的5位股东所持股份均不少于121C.公司最大的股东所持股份不超过413D.公司最大的股东所持股份可以超过但不超过410第II卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为__________.14.在我国古代书籍《九章算术》第六章“均输”中有一问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”意思是：今有五个人分五钱，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分别分得多少钱？均输”的意思是各人所得依次相差一样多，问：末两人共得几何？答曰：__________钱.15.在ABCD中，ABBD0，沿BD折成直二面角ABDC，且2AB2BD21，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为__________.16.已知椭圆C过点M1,2，焦点0,6，平行OM的直线l与椭圆C交于A,B，两点则的最大值为SOAB__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（本小题满分，10分）14已知0,cos,sin.2435（1）求sin2的值；（2）求cos的值.418.（本小题满分12分）如图在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，AD∥BC,ABC90,PA平面ABCD，PA3,AD2,AB23,BC6.（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角PBDA的大小.19.（本小题满分12分）某城市为了了解高中生的身高情况，从某次全市高中生体检中抽取了一所学校的n名学生的身高数据，整理分组成区间[140,150],(150,160],(160,170],(170,180],(180,190]，单位：厘米，并画出了频率分布直方图如右，已知从左到右前三个小组频率之比为2：3：4，其中第二小组有15人.（1）求样本频数n的值；（2）以此校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市所有高中学生（人数很多）中任选三人，设X表示身高超过160厘米的学生人数，求X的分布列及期望；（3）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查.数据如下表：认为作业多认为作业不多合计喜欢玩游戏18927不喜欢玩游戏81523合计262450试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.附：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828n(adbc)22,nabcd.abcdacbd20.（本小题满分12分）2fn01设，定义，其中*f1xfn1xf1fnx,annN.1xfn02（1）求数列an的通项公式；（2）若T2na12a23a32na2n，求T2n.21（本小题满分12分）如图x平面直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC,C90,B,C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD3DC,ABC的周长为12.若一双曲线E以B,C为焦点，且经过A,D两点.（1）求双曲线E的方程；（2）若一过点Pm,0（m为非零常数）的直线与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M,N，且MPPN，问在x轴上是否存在定点G，使BCGMGN？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由.22.（本小题满分12分）2已知函数fxlnxaxx在x0处取得极值.（1）求实数a的值；5（2）若关于x的方程fxxb在区间0,2上恰有两个不同的实数根，求实数b的2取值范围；34n1（3）证明：对任意的正整数n，不等式2lnn1都成立.49n2雅礼中学2023届高三月考试卷（三）数学参考答案一､单项选择题12345678CACABBDA二､多项选择题9101112BCABCACABC三､填空题13.1414.1.515.16.2四､解答题2717.【解析】（1）sin2cos22cos1.249（2）0，233,.44422sin0,cos0414cos,sin，435223sin,cos.43531422823coscos.4453531518.【解析】（1）以A为原点，分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建系，则A0,0,0,B23,0,0,C23,6,0,D0,2,0,P0,0,3，AP0,0,3,AC23,6,0,BD23,2,0，BDAP0,BDAC0BDAP,BDAC,PAACA，BD平面PAC.（2）设平面ABD的法向量为m0,0,1，平面PBD的法向量为nx,y,1，由nBP0,nBD0，3x,23x30,223x2y03y,233n,,1，221cosm,n，2二面角PBDA的大小为6019.【解析】（1）设前三个小组的频率分别为p1,p2,p3，3p2p1,2由条件得p32p1,ppp10.0050.02010,123111解得：p,p,p，162433115由pn60.24n（2）由（1）知一个高中生身高超过160厘米的概率为7pp0.0050.02010,312由于高中生人数很多，所以X服从二项分布，k3k7k7577XB3,,PXkC3,k0,1,2,3,EX3.12121212422p(adbc)（3）将表中的数据代入公式，abcdacbd50(181589)2得到25.0595.024，26242723查表知P25.0240.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.211220.【解析】（1）f102,a1,fn10f1fn0，2241f0021f011f01f01f011an1nnna，n1f02242f02f022nn12nn1fn0a1n1，an2n111数列是首项为，公比为的等比数列，11anan.4242（2）T2na12a23a32na2n，11111T2na12a23a32na2n222222n1112n134211两式相减得：Tn，2n12142213n1T2n1922nx2y221.【解析】（1）设双曲线E的方程为1(a0,b0)，a2b2则Bc,0,Da,0,Cc,0.由BD3DC，得ca3ca，即c2a.AB|2AC|216a2,ABAC124a,ABAC2a.解得a1，c2,b3.y2双曲线E的方程为x21.3（2）设在X轴上存在定点Gt,0，使BCGMGN.设直线的方程为xmky,Mx1,y1,Nx2,y2.由，得，MPPNy1y20y1即.①y2，BC4,0,GMGNx1tx2t,y1y2BCGMGNx1tx2t.即ky1mtky2mt.②把①代入②，得2ky1y2mty1y20③2y222把xmky代入x21，并整理得3k1y6kmy3m10.3其中3k210且Δ0，1即k2，且3k2m21.326km3m1yy,yy.123k21123k2126