2023年3月高中毕业班联合调研考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题:5分，共60分）............二、填空题1C2A（每小题:3C54分，共C205分）C6D7C8D9A10D11B12A...3.13114-21516①②三、解答与证明题（共:707分）π.解：（）因为C3，所以C，且C2C4，………………分171cos=>0∈(0,)sin=1-cos=2a5c25由正弦定理可得：，A=CaCsinasin即有AsinC545；…………………………………………分sin=c=csin=×=5455（）因为aca5cc，24=5⇒=<π4所以AC，故A，<∈(0,)2又因为A5，所以A25，……………………………………………………分sin=cos=755所以BπACACACAC115；sin=sin[-(+)]=sin(+)=sincos+cossin=acb25由正弦定理可得：，A=C=B=55所以aAsin，……………………………………………………………………sinsin分=55sin=510所以SABC1abC14．…………………………………………分△=sin=×5×11×=2212.解：（）225181………………………………………………分3作图步骤连接AP并延长交BC于点①E连接C1E交CB于点F，连接AC，AF11②连接CP交AF于点M1③点M即为所求……………………………………………………………………………分（注：作图和步骤中没有连接④AC不扣分，如果只连接CP交面ACB于点则只给分）5111（）连结BC，交BC于点O，连结AO，M1112侧面BBCC为菱形，OBOB，且O为BC的中点，1111又∵ACAB，AO∴BC，⊥∵=1∴⊥1面ACB面BB1C1C，AO面ACB，面ACB面BB1CBCAO面BB1C1C∵1⊥⊂11⋂1C=1∴⊥又OB,OB面BB1C1C，OAOB，OAOB，11OA，OB，⊂OB两两垂直，∴…………………………………………………………………⊥⊥分∴17理科数学试卷参考答案第页（共页）14的方向为为单位长度，以O为坐标原点，OBx轴的正方向，|OB|OB的方向为y轴的正方向，OA的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，…………分18CBB，CBB为正三角形，又ACAB，ACAB∵∠1为等腰直角三角形=60°∴△1OAOB⊥1=1∴∆ACB1∴=1A3，B，B3，C3，∴(0,0,)(1,0,0)1(0,,0)(0,-,0)333AB33，ABAB3，∴1=(0,,-)11==(1,0,-)333BCBC3，………………………………………………………………分11==(-1,-,0)9设向量nxyz是平面3AAB的法向量，11ì=(,,)ïnAB3y3zï⋅1=-=0则í33，可取n，ï=(1,3,3)ïnABx3zî⋅11=-=0同理可得平面ABC3的一个法向量m，………………………………分111=(1,-3,3)11mnm，n⋅1，∴cos<>=|m||n|=7由图可知，二面角AABC的平面角是锐角，即二面角AABC的余弦值为1……分∴-11-1-11-1.127.解：（）由题意知：x-19，1=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5名考生的竞赛平均成绩x-为………………………………………………分∴400070.5.-3（）依题意z服从正态分布Nμσ2，其中μx，σ2，σ，2(,)==70.5=204.75=14.31z服从正态分布Nμσ2N2，……………………………………………分∴(,)=(70.5,14.31)5而PμσzμσPz，(-<<+)=(56.19<<84.81)=0.6826Pz1-0.6826．………………………………………………分∴(≥84.81)==0.15877竞赛成绩超过的人数估计为2人人．……………分（∴）由样本估计总体可知竞赛考生成绩不超过84.810.1587×4000=的概率为634.8≈634．8384.811-0.1587=0.8413而ξ~B，…………………………………………………………………………分(4,0.8413)10PξPξC44…………………分∴(≤3)=1-(=4)=1-4⋅0.8413=1-0.501=0.499.12.解：（）由已知得F，故c，201(1,0)=1由|AF||FN|得，a，得a，=+1=4-1=2又因a2b2c2，所以b，……………………………………………………………分3=+x=23y2所以椭圆C的标准方程；………………………………………………………分+=14（）MFNPFN恒成立432∠=2∠理由：由A，则设直线AM的方程为xmy，(1)(-2,0)=-2理科数学试卷参考答案第页（共页）24x2y2与椭圆方程联立，可得m2y2my，……………………………分+=1(3+4)-12=05m43m2m2得y12，xmy126-8，=m2=-2=m2-2=m23+43+43+4m2m即M6-812，…………………………………………………………………分(m2,m2)73+43+4直线AM：xmy与x的交点P6，=-2=4(4,m)6m，所以k2即PFN2；…………………………………………………分PF==mtan∠=m94m-112m2mmmkMF3+4124，即MFN4，……………………分=m2=m2=m2tan∠=m2106-83-12-4-4m2-13+42PFN2×mm又PFN2tan∠4MFN．tan2∠=2PFN=2=m2=tan∠1-tan∠2-41-(m)所以MFNPFN，…………………………………………………………………分∠=2∠11特别的，当kAM时，kMFkPF，则MFNPFN，MFNPFN，综上所述MF=N0PF=N=……………………………………………………………0tan∠=tan∠=0∠=2∠分∠=2∠.12.解：（）当a时，fxex1x，f'xex11，kf'e，211=-1()=+x+ln()=-x2+x=(1)=切点e，切线方程为yexe，即yex，………………………分(1,+1)∴=(-1)++1=+12令x，得y；令y，得x1，所以三角形的面积是：S111；……分=0=1=0=-e=×e×1=e5|xexa|22（）因为x，所以fx-ax（a）2>0()=x-ln>0令hxxexax，h'xxexx，()=-(>0)()=(+1)(>0)则hx在∞上单调递增，又ha，haaea，()(0,+)(0)=-x<0()=(-1)>0存在唯一的xa使hx，且axe0，0∈(0,)(0)=0=0ìaïexaxxxïx--ln,0<<0所以fxí，……………………………………………………分()=ïa7ïexaxxxî-x-ln,≥0a当xx时，fxexax，0<<0()=x--lnaa由f'xex，则fx在x上单调递减，………………………………分()=-x2--x<0()(0,0)8a当xx时，fxexax，≥0()=-x-lnaa由f'xex，()=-x+x2a当xx时，yex在x∞上单调递增，≥0=-x[0,+)x0xaxaxxexaa则ee0e00，所以当xx时，f'xe，-x≥-x=-x=0≥0()=-x+x2≥000理科数学试卷参考答案第页（共页）34所以fx在[x∞上单调递增，………………………………………………………分()0,+)9综上所述fxfx，…………………………………………………………………分()≥(0)xa10而fxe0axaxax1，(0)=-x-ln0=-ln0>⇒0<00(0,e)=(0,e)x11ee-1此时axe01·e，即ae，=0∈(0,e)∈(0,)1所以aee-1………………………………………………………………………………分<12.解：（）曲线C是以C为圆心的半圆，22111(4,0)π所以半圆的极坐标方程为ρcosθθ，………………………………………分=8(0≤≤)2π2曲线C是以C为圆心的圆，转换为极坐标方程为ρsinθθπ22(3,)=23(0≤≤)………………………………………………………………………………………………2分ππ5（）由得：|MN||ρMρN||cos|．……………………………分2(1)=-=8-23sin=1733点C到直线MN的距离d|OC|03．……………………………………………分2=2sin30=92所以SCMN1|MN|d133．………………………………………分△2=×⋅=×1×=10.解：（）设fx2|x||x2|，24231()=2-3--1当x时，fx|x||x|xxx，≥3()=2-3--1=2(-3)--1=-7显然此时fxf；()≥(3)=3-7=-4当x时，fx|x||x|xxx，0<<3()=2-3--1=2(3-)--1=5-3显然有ffxffx；(3)<()<(0)⇒-4<()<5当x时，fx|x||x|xxx，≤0()=2-3--1=2(3-)+-1=5-显然有fxf，……………………………………………………………………分()≥(0)=54综上所述：fx，要想|x||x|m对任意的xR恒成立，()≥-42-3--1≥∈只需m，所以实数m的取值范围为∞；………………………………………分≤-4(-,-4]5（）因为m∞，所以tm，2∈(-,-4]=max=-4即a2b2c2，………………………………………………………………………分++=166111a2b2c2(a2+b2+c2)[(+1)+(+2)+(+3)]+1+2+31a21b21c22≥(a2×+1+b2×+2+c2×+3)=9………………………………………………………………………………………………+1+2+3分8a2b2c2当且仅当+1+2+3时取等号即a57b48c39==,=±,=±,=±111333a2b2c2+1+2+3时取等号，而a2b2c2，++=16所以有1111119(a2+b2+c2)×22≥9⇒a2+b2+c2≥.……………………………………………………………………………………………+1+2+3+1+2+322分注：第—题提供的解法供阅卷时评分参考，考生其它解法可相应给分。101723理科数学试卷参考答案第页（共页）44