2023年兰州高三诊断理科数学参考答案及评分标准1．C2．C3．A4．D5．D6．C7．A8．B9．A10．B11．C12．B12．【解析】fx()(=−xaxb)(−+−)(xbxc)(−+−)(xcxa)(−=−+++++)3x22(abcx)(abbcca)=4[(a++−bc)23(ab++bcca)]=4(a2++−−−b2c2abbcca)0由于a，b，c不相等，所以0，所以函数必有两个不相同的零点11311321因为a=，b=sinsin=，c=sin(cos)sin(cos)=sinsin=22222244262所以cab因此f(a)=(a−b)(a−c)0，f(b)=(b−c)(b−a)0，f(c)=(c−a)(c−b)0所以函数的两个零点分别在区间()ba，和()ac，，故选A3011817716023113．114．315．或或16．①1177231f()x+Tkax++Tb16．【解析】对于函数y=kaxb+(a0且a1，k、b为非零常数），有==aTfx()kaxb+由于a，T为常数，所以此函数满足“函数”定义，故①正确；f()()x21fx+T令x21=+xT，由于函数为“函数”，因此T0，xx21，==m1f()()x11fx当fx(1)0，f()()x21fx，故②错；由于函数为“函数”，且fx()0，则m0f()x+kTlnln[f(x+kT)]−ln{f[(x+(k−1)T]}f[(x+−(k1)T]lnm虽然==（kn=12，，）为定值，但当x变化时，对(x+kT)−[x+(k−1)T]TT于确定的n值，(x++nT，ln[f(xnT)])并不在同一直线上，故③错误.17．【解析】(1)因为数列an对任意的iN都有an+i−=ani，所以当i=1时满足aann+1−=1，所以数列an是首项为1，公差为1的等差数列，所以数列an的通项公式为ann=．………………6分ba(2)因为数列b满足：nn+1=且b=1，nba1nn+2兰州市教育科学研究所b1b2b3bn−2bn−1所以2=，3=，4=，...n−1=，n=b13b24b35bnn−2bnn−1+1bbbb123nn−−21所以243n=b1b2b3bn−1345nn+1bn22即：=，所以bnn=（2）．b1n(n+1)nn(+1)222又因为b=1=符合当n=1时的值，所以数列b的通项公式为bn=（N）．112nn(+1)nnnn(+1)2111111112n因为b=−=2（)，所以Sn=2(1−+−++−)=2(1−)=（N）nn(n++1)nn1n223nn+1n+1n+12n所以数列b的前n项和Sn=（N）.………………12分nnn+118．【解析】(1)方案一：选条件①②．因为在四棱锥S−ABCD中SB=SC，点M是BC的中点，SM=2，所以SM⊥BC．5又因为在RtSBM中，cos=SBM，所以BM=1．5又因为ABCD是矩形，BC=2AB，所以BM==AB1，AM=2,由222SA=6，AM=2，SM=2可得：SA=+AMSM，所以SM⊥AM．SM⊥BC则由SM⊥AM可得：SM⊥底面ABCD，又因为SM侧面SBC，AMBC=M所以侧面SBC⊥底面．………………6分方案二：选条件①③．因为在四棱锥中，点是的中点，，所以.6又因为在SAM中，SA=6，sin=SAM，SM=2，3SASM62==sin=SMA1所以由正弦定理得：sinSMAsinSAM，即sinSMA6，所以3即=SMA，所以SM⊥MA．2兰州市教育科学研究所SM⊥BC则由SM⊥AM可得：SM⊥底面ABCD，又因为SM侧面SBC，AMBC=M所以侧面SBC⊥底面ABCD.………………6分方案三：选条件②③．因为在四棱锥S−ABCD中SB=SC，点M是BC的中点，SM=2，所以SM⊥BC.5又因为在RtSBM中，cos=SBM，所以BM=1．5又因为是矩形，BC=2AB，所以BM==AB1，AM=2，63又因为在SAM中，sin=SAM，则cos=SAM33设SA=x，SM2=SA2+AM2−2SAAMcosSAM，26所以有：3xx−26−6=0，解之得x1=6或x2=−（舍）所以SA=6．3222由SA=6，AM=2，SM=2可得：SA=+AMSM，所以SM⊥AM．则由可得：底面，又因为侧面，所以侧面底面．………………6分(2)在(1)条件下知SM⊥底面ABCD，且MD⊥AM，故如图所示：以M为坐标原点，以MA所在直线为x轴，以MD所在直线为y轴，以MS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，22易得S(0,0,2)，A(2,0,0)，D(0,2,0)，C(−,,0)，22设平面SAD的法向量为n=(x,y,z)，2yz−=20则n⊥SD，n⊥SA，故，2xz−=2022，令x=2得n=(22,1)，而SC=−,,2，22兰州市教育科学研究所nSD2若直线SC与平面SAD所成角为，则sin==nSD52所以直线SC与平面SAD所成角的正弦值为………………12分519．【解析】(1)根据上述表格完成列联表：16强非16强合计欧洲地区442266其他地区365894合计8080160160(4458−2236)2K2==12.4823.84180806694所以有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关..............................6分(2)设“参赛双方在90分钟内打平”为事件A，“参赛双方在加时赛打平”为事件B，“全场比赛打平”为事件C11根据题意可知，PCPAB()()，则B(2,)，9901082641118116212801PC(0)()()，PC(1)()()，PC(2)()()299812998129981012P6416181818112则E()2………………12分99bc3，b=3b=120．【解析】(1)由已知可得：解得（舍去）或a2，c=1c=3x2所以椭圆E的方程是+=y21………………5分4(2)由条件可知，直线AB的斜率必存在，设直线的方程为y=+kxdxy22+=44，由得(1+4k2)x2+8kdx+4d2−4=0y=+kxd，兰州市教育科学研究所−8kd2d设A()x，y，B()x，y，故xx+=，yy+=11221214+k21214+k2−4kdd所以点P坐标为()，1++4kk2214xy223因为椭圆+=1(mn0)的离心率为e=，所以mn22=4mn222x2+=44y2n2由得(4k2+1)x2+8kdx+4d2−4n2=0y=+kxd故Δ=16(4n2k2−d2+n2)−4kdd又由于点在椭圆E上，因此()2+=4()24n211++4kk2214所以4k2d2+d2=n2(1+4k2)2所以d2=+n2(14k2)所以Δ=16(4n2k2−d2+n2)=0所以椭圆与直线AB相切………………12分21．【解析】(1)可知函数的定义域为(0,+)1当n=1时，f(x)=−(x1)lnx，f(x)=lnx+1−x11当01x时，lnx0，10−，故fx()0，函数为减函数；当x1时，lnx0，10−，故xxfx()0，函数为增函数综上，函数y=f()x的单调增区间为(1,+)，单调减区间为(0,1)………………4分1111(2)当n1时，可知函数存在零点1和nn，且nnn=11，因此，Q点坐标为(nn,0)n1n−11n−1nn−1ⅰ）由于f(x)=nxnn−−11lnx+x−，所以f(nn)=nnnlnnn+nn−=nnlnnx1nnn−1所以g(x)=−(nnlnn)xnlnnnn−1令h()()()x=−fxgx，则hxfxgxnx()=()−()=nn−−11lnxx+−−nnlnnx11n−1当1xnn时，0lnxnln，0xnn−1nn兰州市教育科学研究所n−1n−1nxn−1lnxnnlnnnxn−1lnx−nnlnn0n−1n−1nn−−111nnnnn=nnn−1nn1xnnx1−−nx−n−n=0nnxxhx()0hx()为减函数1同理，当xnn时，为增函数1h(x)h(nn)=lnn−lnn−nlnn+nlnn=0所以当x1时，f()()xgx………………8分1ⅱ）由于方程f(x)=t(0tn−1)有两根a，b，不妨设ab，则01b，ann1−n11−nnt++nlnnnntnlnnnt设g()x0=t，则x==n=+n0n−1lnnnlnnnnln由ⅰ）知，g()()()x0=faga，由于y=g()x是增函数，所以ax01−nnnt1nn1−n|a−b|x−0=+nn=t+nn………………12分0lnnnln2222．【解析】(1)由条件可知曲线C1的直角坐标方程为x+(y−1)=1，x2+(y−1)2=1，曲线C的直角坐标方程为(x−1)2+y2=1，由可得公共弦方程x−y=0，222(x−1)+y=1，MN1()2=1−()2，解得线段MN的长度为2.................................5分2222(2)由条件可知曲线C2的直角坐标方程为(x−1)+y=a+1，2x=3+t，将直线l的参数方程2(t为参数)代入曲线的直角坐标方程得：t2+2t−a+4=02y=−1+t2PAPB=t12t=a−41=，实数a=3或a=5由于Δ=2+4(aa−4)=4−120，故.................................10分x-1−1x2x2423．【解析】(1)由或或解得x-或0x2或x2，-3x4x+443x43兰州市教育科学研究所4所以不等式的解集为−，−0，+).......................................5分31−fx()xx4，02，(2)因为f(x)+ax−10(x0)，所以ax(0)又因为fx()xmax32xx，，3−12−，0x，1−fx()x1−fx()5则=所以a=−.......................................10分x1x2−32+，x，maxx兰州市教育科学研究所