第一次模拟理科数学答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合,则等于（    ）A．B．C． D．【答案】B【分析】求出集合，利用交集运算可求得结果.【详解】，，.2．设复数满足，则复数的虚部是（    ）A． B．5 C． D．【答案】D【分析】根据复数模的计算以及复数的除法运算，求得复数，即可得答案.【详解】复数满足,即，所以，故复数的虚部是3．已知平面向量，，且，则（    ）A．1 B．14 C． D．【答案】C【分析】根据向量的模长公式以及数量积的运算律即可求解.【详解】因为，，b=所以，所以4．农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”．它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为天．由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应：设数列满足，，，…，其中均为正整数：，，，，，，…，那么第级修正是“平均一年闰个月”．已知我国农历为“年共闰个月”，则它是（    ）A．第6级修正 B．第5级修正C．第4级修正 D．第3级修正【答案】B【分析】根据题意依次求出，再判断哪一个等于即可.【详解】因为数列满足，，，…，其中均为正整数：，，，，，，…，所以，，，，，所以“年共闰个月”为第5级修正，5．设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标，进而得到，利用抛物线焦半径公式和抛物线方程可得点坐标，利用两点间距离公式可求得结果.【详解】由抛物线方程得：，则，设，，解得：，，.故选：A6．执行如图所示的程序框图，如果输入的正整数，则输出的值是（ ）A．5 B．7 C．8 D．13【答案】C【分析】根据循环框图的功能，一一循环验证即可.【详解】解：第一次循环后；第二次循环后；第三次循环后；第四次循环后；此时，终止循环，输出C=8，故选：C7.．等比数列满足，设数列的前项和为，则=（    ）A． B． C．5 D．11【答案】A【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式化简条件求，判断数列为等比数列，然后利用等比数列的前项和公式计算.【详解】设等比数列的公比为由可得，又，，所以，所以，因为，故数列也为等比数列，公比为所以等比数列的公比为因此,所以8．如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点.则下列选项中错误的是（    ）A．直线平面B．在棱上存在一点，使得平面平面C．三棱锥在平面上的正投影图的面积为4D．若为棱的中点，则三棱锥的体积为【答案】C【详解】解：对于A：连接，交于点，连接、，显然为的中点，又，分别为，的中点所以且，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：取中点，连接，，，显然，所以，又，所以所以，由正方体，可得平面，平面，对于C：如图，连接，则四边形为三棱锥在平面上的正投影，因为，故C错误；对于D，9．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，分为乙分别在第一二场胜两种情况，结合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.【详解】由题意，此局分两种情况：（1）后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：；（2）后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为：；所以，所求事件概率为.故选：D10．在三棱锥中，，，且，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析出P,A,B,C四点在同一长方体的顶点上即可求解.【详解】，，，所以,所以，又,，所以,所以，又，所以平面，所以,所以，所以的外接球的表面积.故选：A11．设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出M，N两点的坐标，再利用余弦定理，求出a,c之间的关系，即可得了双曲线的离心率.【详解】解：不妨设圆与相交，且点的坐标为，则点的坐标为，联立，得，又且，所以，所以由余弦定理得：，化简得，所以，所以.故选：B12．已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且．则（    ）A．40 B．32 C．30 D．36【答案】D【分析】本题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，根据奇偶性、周期性和对称性即可求值.【详解】因为是偶函数，所以，用代替可得：，所以，所以函数关于直线对称，又因为，所以，所以，所以关于点中心对称，所以函数的周期为，因为当时，（且），且，所以，解得：或，因为且，所以.所以当时，，所以，，，，，，，所以，所以,故选：D二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13．2022年11月30日，神州十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神州十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员需要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为__________．【答案】##【分析】利用对立事件和古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】由题意可得：在3名女相航天员和3名男性航天员中选择3名航天员，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率，14．圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的标准方程为_____________.【答案】【详解】设圆心坐标为，半径为，则，解得，所以该圆的标准方程为，15．已知函数的最小正周期为T，若，且的图象关于点对称，则当取最小值时，________.【答案】【分析】首先根据最小正周期为，结合求得的值，再根据对称中心公式得，求出关于的表达式；找出取最小值时对应的，即可求出的具体取值，写出的解析式然后计算得出结果.【详解】第一步：求A的值由题意可得，则，故.第二步：求的最小值由的图象关于点对称可得，故，即，又，所以当，取得最小值.第三步：求的值.此时，.16．已知函数（其中a为常数）有两个极值点，若恒成立，则实数m的取值范围是______.【答案】【分析】对函数求导后，由题意可得，是关于x的方程的两个不等的正实根，则得，，则，令，然后利用导数求出其最小值即可.【详解】.若有两个极值点为，则，是关于x的方程的两个不等的正实根.由，及方程根的情况，得，则，.又，所以，要使恒成立，只需恒成立.又，令，则，当时，，为减函数，所以当时，.由题意，要使恒成立，只需满足.故答案为：三、解答题:本题共6道题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在中，角所对的边分别为，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，当角取得最大值时，求的面积.【分析】（1）由题给条件利用两角和的正弦公式及正弦定理即可证得；（2）先利用余弦定理求得角最大值为，进而求得的面积.【详解】（1）因为，所以................................1分所以，所以所以.................................................................4分所以，由正弦定理得................................................................6分（2），（当且仅当时等号成立），.............8分则当时，取得最小值，又，所以角最大值为................................................................10分此时为等边三角形，所以的面积为.................................................................12分18.解：由题意． .............................2分     令，设y关于t的线性回归方程为直线则..............................................................5分      则，        ................................................................7分     ∴，又，∴y关于x的回归方程为.................................................................8分（2））仅从现有统计数据所得回归方程，可发现当推广时间越来越长时，即x越来越大时，y的值会逐渐降至接近于30，可知该省一直加大力度推广下去，网络诈骗举报件数大概会逐渐降至30件.................................10   分  但在使用经验回归方程进行预测时，方程只适用于所研究的样本总体，一般具有时效性，不能期望回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值，所以若加大力度一直推广下去，并随着国家对网络诈骗的严厉打击和科技发展，再加上相关部门对个人信息防护手段的加强，人们对网络诈骗犯罪的防范意识逐步提高，网络诈骗举报件数是有可能降至接近于零的．.................................12  分  （第二问学生若回答不能接近于零，只要理由充分，也可酌情给分）19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为正三角形，，.(1)求证：平面平面SBC；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）分别取BS，AS的中点O，E，连接OE，OC，ED，证明平面SAB后可得证面面垂直；（2）以O为坐标原点，OC，OS，OA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）分别取BS，AS的中点O，E，连接OE，OC，ED，则且.因为，，所以，所以四边形OCDE为平行四边形，则.......................................................2分因为，故，故.......................................................3分因为，故.......................................................4分因为，SA，平面SAB，所以平面SAB.......................................................5分因为平面SBC，所以平面平面SBC.......................................................6分（2）连接AO，因为△为正三角形，所以，因为平面平面SBC，平面平面，面，所以平面SBC，OC、OS在面SBC内，又，故OA，OS，OC两两垂直，故以O为坐标原点，OC，OS，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示...................................8分设，则，，，所以，，，，（难点：点D的坐标不易直接看出，可先求出点E的坐标，利用求解点D的坐标）所以，，.设面SAD的法向量为，由，令，得...................................10分设面SAC的法向量为，则，令，得.........11分则，显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.....................................