杭州二中2022学年第二学期高三年级3月考试数学试卷第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数的实部为，则的值为（）A.2 B.4 C. D.3.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为（）A. B. C. D.4.2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕．某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为（）A. B. C. D.5.已知，，，，过点作垂直于点，点满足，则的值为（）A. B.C. D.6.已知，则的大小关系为（）A B.C. D.7.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）A. B. C. D.8.已知在矩形中，，，，分别在边，上，且，，如图所示，沿将四边形翻折成，设二面角的大小为，在翻折过程中，当二面角取得最大角，此时的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为1610.已知函数，下列关于该函数结论正确的是（）A.的图象关于直线对称 B.的一个周期是C.的最大值为 D.是区间上的减函数11.已知正四棱锥的所有棱长均为，，分别是，的中点，为棱上异于，的一动点，则以下结论正确的是（）A.异面直线、所成角的大小为B.直线与平面所成角的正弦值为C.周长的最小值为D.存在点使得平面12.已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（）A. B.周期C.在单调递减 D.满足第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.已知抛物线E：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与准线交于点，为的中点，且，则__________.14.在的展开式中的系数为，则_______．15.已知正实数满足，则的最小值是___________.16.函数，其中为实数，且.已知对任意，函数有两个不同零点，取值范围为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积．18.已知数列满足．（1）求证：是等差数列；（2）令（表示不超过最大整数．提示：当时，），求使得成立的最大正整数的值．19.如图，四棱锥P-ABCD的底面为梯形，底面ABCD，，，，E为PA的中点．（1）证明：平面平面BCE；（2）若二面角P-BC-E的余弦值为，求三棱锥P-BCE的体积．20.法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000，上下浮动不超过50.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000，标准差为50的正态分布.（1）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.（i）假设面包师说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由；（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量服从正态分布，则，；②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.21.已知抛物线，开口向上的抛物线与有一个公共点，且在该点处有相同的切线，（1）求所有抛物线的方程；（2）设点P是抛物线上的动点，且与点T不重合，过点P且斜率为的直线交抛物线于两点，其中，问是否存在实常数，使得为定值？若存在，求出实常数；若不存在，说明理由.22.已知.（1）当时，求最大值；（2）若存在使，得关于的方程有三个不相同的实数根，求实数的取值范围.