2023年池州市普通高中高三教学质量统一监测数学参考答案及评分标准一、单项选择题：12345678DABDCBCB二、多项选择题：9101112BCDACACDABD三、填空题11e113.14.0.94715.[1,)（或[,)）16.366（或3(62)）4ee四、解答题17.解析：（1）由Snan4①Sn1an14(n2)②an1①－②，得，2anan10，即(n2)，…………………………2分an12当n1时，S1a14，a12，…………………………3分11n12n则an是以首项为2，公比为的等比数列，所以an2()2………………………5分2222n2n（2）bn(an1)ananan42，………………………………7分4(14n)2(12n)42(14n)442n2n2n…………………分Tn112(12)2.1014123331acosB2sinBcosC1acosB2sinBcosCsinB18.解析：（1）由，得，…………………2分acosC1sin2CacosC12sinCcosCsinC所以sinCasinCcosBasinBcosCsinB，即sinBsinCasin(BC)asinA，……………………………4分由正弦定理可得：a2bc.…………………………………6分（2）a2，bc4，………………………………………7分11设BAC2，则Sbcsin2(bc)ADsin，ΔABC22bccos10①………………………………………9分又由余弦定理可知a2b2c22bccos2(bc)22bc(1cos2)，bccos23②……………………………………………10分310由①②可得，cos……………………………………………11分1044所以cos22cos21，即cosBAC.………………………………………12分5519.解析：（1）PB底面ABCD，PBBE①又E为棱AD中点且AD//BC，则BC//DE，所以四边形BCDE为平行四边形，则BEDC1，又1DEAD2，DEB60o，所以DBBE②……………………………………………3分2由①②得BE面PBD，所以BEPD.……………………………………………5分（2）PB底面ABCD，由（1）知BEBD，则以EB为x轴，BD为y轴，BP为z轴，如图建立空间直角坐标系，设PBa，则B(0,0,0),E(1,0,0),A(2,3,0),C(1,3,0),P(0,0,a)，由PF2FA，可知123a23a423aAFAP(,,)，所以BFBAAF(2,3,0)(,,)(,,)，3333333333423aBFm0xyz0BE(1,0,0)，设平面BEF的法向量为m(x,y,z)，由，得333，BEm0x0令ya，则z23，所以m(0,a,23).……………………………………………7分mn23又平面ABE的法向量为n(0,0,1)，则cosm,n，由二面角ABEF大小为mna212o231260，可知，所以a36，得a6（负值舍去）.……………………………9分a2122所以m(0,6,23)，又AC(3,23,0)，ACm12321所以cosAC,m，……………………………………………11分ACm4321721设直线AC与平面BEF所成角为，则sincosAC,m，即直线AC与平面BEF所成角721的正弦值为.……………………………………………12分7101020.解析：（1）由得，……………………………………………分xi380,yi390,x38,y391i1i1所以aˆybˆx391.563820.28，……………………………………………2分nn由ˆ22，(xix)(yiy)b((xix))1.5615i1i1n(xx)(yy)ii1.56152得ri10.936……………………………………4分nn221525(xix)(yiy)i1i1则0.75r1，所以城市居民年收入与A商品销售额的相关性很强.……………………5分1（2）由分层抽样可知抽取的5户居民中有中等收入居民4户，他们购买A商品的概率为；有高收入居民1户，他23们购买A商品的概率为，分层随机抽取5户居民，则z的可能取值有0,1,2,3,4,5.…………………6分4141114114370，10，P(z0)C4P(z1)C4C42464242464141143189141143221121，32，P(z2)C4C4P(z3)C4C4242464322424643214114313143343，4P(z4)C4C4P(z5)C42424642464则z的分布列为z01234517911133P646432326464公众号：网课来了…………………11分1791113311则E(z)012345.…………………………………12分646432326464422221.解析：（1）AF1AF22a，AF1AF2F1F2.2(AFAF)22AFAFFF，即Sb24，……………………3分121212ΔAF1F2b2y2又e215，a21，则双曲线C的方程为：x21.…………………………4分a24（2）法一：设A(x0,y0)，设双曲线在点A处的切线为yk(xx0)y0，则联立双曲线方程：yk(xx0)y0，得：(4k2)x2(2k2x2ky)x2kxyk2x2(y24)0220000004xy4kyk2x4x4k20且Δ0，x00x，则k04k20y0yy即双曲线在点A处的切线为xx01.……………………………………………6分0412(x2)12(x2)令x，则y0，即P(,0)，2y02y0y0(x02)当x02时，直线AM的斜率为kAM，所以直线PN的斜率为kPN.x02y02(x2)(x2)1则直线PN的方程为y00(x).……………………8分y0y0255令y0，则x，所以直线PN过x轴上定点G(,0)，…………………9分22当x02时，直线PN为y0，也过该点.……………………………10分9由M,G为两定点，且MNG90o，所以N点在以MG为直径的圆上，则存在MG的中点Q(,0)4，19使得QN为定值，所以存在点Q(,0)，使得QN为定值.……………………………………12分4411y2法二：设过P(,t)斜率为k的直线l方程为yk(x)t①，与双曲线C:x21②相切于点A(x,y)，22400kk联立①②，消y，整理得(4k2)x22k(t)x(t)2404k20且Δ0，22k即(t)24k20③……………………………………………5分2kk(t)k2k此时，x2，由③可知，x④……………………………………………6分020k4kt2tk2y0(x02)（ⅰ）当x02时，直线AM的斜率为kAM，所以直线PN的斜率为kPN.则直线PNx02y0(x2)1(x2)1的方程为yt0(x)，即yt0(x)，y2120k(x)t024t1由④代入化简得yt(x)，12k2(2tk)2224t1115由③可知，yt(x)，即ytt(x)，令y0，得x，所以直线PN过2k22k2822225x轴上定点G(,0).……………………………………………9分25（ⅱ）当x2时，直线PN为y0，也过点G(,0).……………………………………………10分029由M,G为两定点，且MNG90o，所以N点在以MG为直径的圆上，则存在MG的中点Q(,0)使4，19得QN为定值，所以存在点Q(,0)，使得QN为定值.………………………………12分44122.解析：（1）f(x)x2axaxlnx(x0)，2则g(x)f(x)xaa(lnx1)xalnx.………………………………………1分axag(x)1(x0)……………………………………………2分xx①a0时，g(x)0，g(x)在(0,)单调递增；②a0时，令g(x)0，则xa，当0xa时，g(x)0，g(x)在(0,a)单调递减；当xa时，g(x)0，g(x)在(a,)单调递增.……………………………5分（2）证明：由（1）可知，当a0时，g(x)f(x)在(0,)单调递增，不妨设0x1x2，F(x)f(xx2)f(x)f(x2)(0xx2)，F(x)f(xx2)f(x)[g(xx2)g(x)]，由xx2xxx且g(x)在(0,)单调递增，可知g(xx2)g(x)，F(x)0，F(x)在(0,x2]单调递增，……………………………………9分则F(x1)F(x2)f(x2x2)f(x2)f(x2)f(x2)f(x2)0，即f(x1x2)f(x1)f(x2)所以当a0时，f(x1x2)f(x1)f(x2)恒成立.………………………………12分