2023本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若M，N是U的非空子集，M∩NM，则．．A．MNB．NMCUMNDUNM2．若iz(12i)2，则zA．43iB．43iC．43iD．43i23．已知(x3)n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为x2A．60B．80C．D．4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC100m，则该球体建筑物的高度约为（cos10°≈0.985）A．49.25mB．50.76mC．56.74mD．58.60m数学试卷第1页（共6页）5．在▱ABCD中，BE1BC，AF1AE．若ABmDFnAE，则mn2354A．1B．3C．D．24636．记函数f(x)sin(ωxπ)(ω>0)的最小正周期为T．若πTπ，且f(x)≤|f(π)|，423则ωA．3B．9C．15D．2744447．已知函数f(x)的定义域为R，yf(x)ex是偶函数，yf(x)ex是奇函数，则f(x)的最小值为A．eB．22C．23D．e2x2y8．已知F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线a2b2上，PF⊥PF，圆O：x2y29()a2b2，直线PF与圆O相交于A，B两点，直线12412PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为9b，则C的离心率为585210A．B．C．D．4525二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数2n13，1≤n≤6，10．已知数列{a}的前n项和为S，a若S，则k可能为nnnn7k(3)1，n6.A．4B．8C．9D．12数学试卷第2页（共6页）11．如图，正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为2，BC2．若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点AP，处，且A，B，C，D四点共面，点A，D分别位于BC两侧，则AA．AD⊥CPB．PP//平面ABDCBPCC．多面体PPABDC的外接球的表面积为6πD．点A，P旋转运动的轨迹长相等D12．已知a>0，ealnb1，则A．alnb<0B．eab>2C．lnaeb<0D．ab>1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P在抛物线C：y22px(p>0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HPF60°，点P的横坐标为1，则p_______．14．过点(1，0)作曲线yx3x的切线，写出一条切线的方程_______．15．已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m，下边长为1m，且下边距地面1m．若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5m2，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为_______m3．16．“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数()n：nN*，()n为n的所有正因数之和，如(6)123612，则(20)_______；(6n)_______．（第一空2分，第二空3分）数学试卷第3页（共6页）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC3sinAsinB．（1）若Aπ，求cosB；3（2）若c6，求△ABC的面积．18．（本题12分）22*已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a11，Sn1Sn8n，n∈N．（1）求Sn；（2）在数列{an}的每相邻两项ak，ak1之间依次插入a1，a2，…，ak，得到数列{bn}：a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，……，求{bn}的前100项和．19．（本题12分）如图，在圆台OO1中，A1B1，AB分别为上、下底面直径，且A1B1//AB，ABA1B1，CC1为异于AA1，BB1的一条母线．（1）若M为AC的中点，证明：C1M//平面ABB1A1；（2）若OO13，AB，∠ABC°，求二面角A-C1C-O的正弦值．A1O1B1C1OABMC数学试卷第4页（共6页）20．（本题12分）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：样本号i12345678910人工测雨量xi5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量yi5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49|xiyi|0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.261010102，，，，，222并计算得xi353.6yi361.7xiyi357.3x33.62y34.42xy34.02.i1i1i1（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；（2）规定：数组(xi，yi)满足|xiyi|<0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤|xiyi|<0.3为“Ⅱ类误差”；满足|xiyi|≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．n(xix)(yiy)附：相关系数ri1nn，304.517.4.22()()xixyiyi1i=1数学试卷第5页（共6页）21．（本题12分）2y22已知椭圆E：x1(ab0)的离心率为，焦距为2，过E的左焦点F的直a2b22线l与E相交于A，B两点，与直线x2相交于点M．（1）若M(2，1)，求证：|MA|·|BF||MB|·|AF|；（2）过点F作直线l的垂线m与E相交于C，D两点，与直线x2相交于点N．求1111的最大值．|MA||MB||NC||ND|22．（本题12分）已知函数f(x)axlnxa．x（1）若x>1，f(x)>0，求实数a的取值范围；14a2（2）设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，证明：|f(x1)f(x2)|．a2023届高三第二次调研测试数学参考答案与讲评建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若M，N是U的非空子集，M∩N=M，则A．MNB．NMC．ðUM=ND．ðUN=M【答案】A2．若iz=(1−2i)2，则z=A．4+3iB．4−3iC．−4+3iD．−4−3i【答案】C3．已知(x3+2)n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为x2A．60B．80C．D．【答案】B4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100m，则该球体建筑物的高度约为（cos10°≈0.985）A．49.25mB．50.76mC．56.74mD．58.60m【答案】Buuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur5．在▱ABCD中，BE=1BC，AF=1AE．若AB=+mDFnAE，则m+n=2354A．1B．3C．D．2463【答案】D6．记函数f(x)=sin(ωx+π)(ω>0)的最小正周期为T．若πTπ，且f(x)≤|f(π)|，423则ω=A．3B．9C．15D．274444【答案】C7．已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)−ex是奇函数，则f(x)的最小值为A．eB．22C．23D．e【答案】B2x2y8．已知F1，F2分别是双曲线C：−=1(00)ab，的左、右焦点，点P在双曲线ab22上，PF⊥PF，圆O：x2+y2=9()a2+b2，直线PF与圆O相交于A，B两点，直线12412PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为9b，则C的离心率为585210A．B．C．D．4525【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C．甲种的样本方差大于乙种的样本方差D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数【答案】ABD2nn−13，1≤≤6，10．已知数列{an}的前n项和为Sn，an=若Sk=−，则k可能为n−7(−3)−1，n6.A．4B．8C．9D．12【答案】AC11．如图，正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为2，BC=2．若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点AP，处，且A，B，C，D四点共面，点，D分别位于BC两侧，则AA．AD⊥CPB．PP//平面BDCBPCC．多面体PPABDC的外接球的表面积为6πD．点A，P旋转运动的轨迹长相等D【答案】BC12．已知a>0，ea+lnb=1，则A．a+lnb<0B．ea+b>2C．lna+eb<0D．a+b>1【答案】ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P在抛物线C：y2=2px(p>0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HP