北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准2023.3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）A （3）D （4）B（5）C（6）B （7）A （8）D （9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）（12）（13）(答案不唯一)（14）（15）②=3\*GB3③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为===所以的最小正周期为………………6分（Ⅱ）由题设，，由是该函数零点可知，，即.故或，解得或.因为，所以的最小值为.………13分（共13分）解：（Ⅰ）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，有13种等可能的情形，其中有4次成绩超过90分．则从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次成绩超过90分的概率为．…3分（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为1，2，3.；；则随机变量的分布列为：123故随机变量的数学期望．………11分（Ⅲ）．………13分（18）（共15分）解：（Ⅰ）连接，，.因为长方体中,∥且，所以四边形为平行四边形.所以为的中点，在△中，因为，分别为和的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.………………6分（=2\*ROMANII）选条件=1\*GB3①：.(ⅰ)连接.因为长方体中，所以.在△中,因为为的中点，，所以.如图建立空间直角坐标系，因为长方体中,，则，，，，，，.所以，，.xyz设平面的法向量为，则即令，则，，可得.设平面的法向量为，则即令，则，，所以.设平面与平面的夹角为，则所以平面与平面的夹角的余弦值为.(ⅱ)因为，所以点到平面的距离为.………………15分选条件=2\*GB3②：与平面所成角为.连接.因为长方体中，平面，平面，所以.所以为直线与平面所成角，即.所以△为等腰直角三角形.因为长方体中，所以.所以.以下同选条件=1\*GB3①.（19）（共15分）解：（Ⅰ）当时，，定义域为.，令，得，当时，，当时，，所以的单调递增区间为.………………5分（Ⅱ）令， 则.当时，令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，最小值为.当时，的最小值为1，所以的最小值为.………………11分（=3\*ROMANIII）由（Ⅱ）知在上单调递减，在上单调递增,又，，所以，，，所以⫋.………………15分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得解得.所以椭圆的方程为．………………5分（Ⅱ）直线的方程为．由得．由，得．设，则，．直线的方程为．令，得点的横坐标为．同理可得点的横坐标为．．因为点坐标为，则点为线段的中点，所以．………………14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）满足条件的数表为，所以的值分别为5，5，6.…………5分（Ⅱ）若当取最大值时，存在，使得.由数表具有性质可得为奇数，不妨设此时数表为.①若存在，使得，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在，使得.②若对任意的，都有，交换和的位置，所得到的新数表也具有性质，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数，使得.………………10分（Ⅲ）当n为偶数时，令，对任意具有性质数表，一方面，，因此．①另一方面，，因此.②记．由①+②得.又，可得.构造数表可知数表具有性质，且.综上可知，当n为偶数时，的最大值为.………………15分