2023年高三二模参考答案数学本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．选D．2．选C．3．选B．4．选B．5．选A．6．选D．7．选B．8．选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．【答案】选BCD10．【答案】选ABC11．【答案】选BD12．【答案】选ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。211313．【答案】14．【答案】2315．【答案】2016．【答案】．23四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11，且a1,a2,S3成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；1（2）设bn，求数列{bn}的前n项和Tn．4Sn1【解析】（）设数列的公差为，由成等比数列，1{an}da1,a2,S3得2即2，解得或-1，a1S3=a233d(1d)d2当时不合题意，所以，即；（分）d1a20d2an2n151111（）由（）得2所以21Snnbn4n2122n12n1111111111n所以．（分）Tn1=10213352n12n+122n+12n118．（12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且2AB×AC+3BA×BC=CA×CB．b（1）求；cπ（2）已知B=，a=2，求△ABC的面积．4【解析】（1）由题设得2bccosA+3accosB=abcosC，b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2由余弦定理，2bc×+3ac×=ab×，2bc2ac2ab数学试题第1页（共5页）b整理得b2=3c2，所以=3．（6分）cπ10-2（2）由（1）知b=3c，由余弦定理得(3c)2=c2+4-2创2ccos，解得c=，421π25-1故△ABC的面积为2csin=c=．（12分）242219．（12分）大气污染物PM2.5（大气中直径小于或等于2.5μm的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康．为了研究PM2.5的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24h内过往的汽车流量3（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中PM2.5的平均浓度（单位：μg/m），得到的数据如下表：城市编号汽车流量PM2.5浓度城市编号汽车流量PM2.5浓度11.3066111.8213521.4476121.439930.7821130.923541.65170141.445851.75156151.102961.75120161.8414071.2072171.114381.51120181.656991.20100191.5387101.47129200.9145（1）根据上表，若24h内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大，PM2.5大于等于75μg/m3属于空气污染．请结合表中的数据，依据小概率值0.05的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关联？（2）设PM2.5浓度为y，汽车流量为x．根据这些数据建立PM2.5浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到0.01）．0.1000.0500.010n(adbc)2附：2，(ab)(cd)(ac)(bd)x2.7063.8416.6352020202020，，2，2，．xi27.8yi1770xi40.537yi193694xiyi2680.48i1i1i1i1i1n(xix)(yiy)i1b在经验回归方程ybxa中，n．2(xix)i1aybx【解析】（1）由题知，列二联表，如下图汽车流量大于等于1500辆汽车流量小于1500辆合计数学试题第2页（共5页）PM2.5大于等于757411PM2.5小于75189合计81220n(adbc)220(7841)225.693.841，(ab)(cd)(ac)(bd)119812依据小概率值0.05的独立性检验，可以认为车流量大小与空气污染有关联．（5分）n2027.81770(xix)(yiy)xiyi20xy2680.4820（）由题知，i1i12020，2bn20116.19227.82(xx)2x2nx40.53720()ii20i1i1177027.8aybx116.1973.00，2020故PM2.5浓度关于汽车流量的经验回归方程为y116.19x73.00．（12分）数学试题第3页（共5页）20．（12分）如图，已知四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，DAB90，ABBC4，PAPC5．（1）求证：PBAC；（2）若平面PBD平面PBC，且△PAD中，AD边上的高为3，求AD的长．【解析】（1）设线段AC中点为E，连接BE，PE，由ABBC及PAPC得BEAC且PEAC，又BEPEE，所以AC平面PBE，又PB平面PBE，所以PBAC．（5分）（2）过点P作PO垂直直线AD于点O，则PO3，因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，POAD及PO平面PAD，所以PO平面ABCD，连接OC，由PAPC5，PO3，易知OAOC4，所以四边形ABCO是菱形，因为DAB90，所以四边形ABCO是正方形，且OA,OC,OP两两互相垂直，以O为空间直角坐标系原点，分别以OC，OA，OP方向为x轴正半轴，y轴正半轴，z轴正半轴，建立如图空间直角坐标系．设ODa，则P(0,0,3)，D(0,a,0)，B(4,4,0)，C(4,0,0)，即PD0,a,3，PB4,4,3，BC0,4,0，PC4,0,3，a4a设平面PBD的法向量为mx,y,z，则mPD0，mPB0，得xy，zy；不111141131a4a4妨取，则，同理可得平面的一个法向量，y11m,1,PBCn1,0,433363664由平面PBD平面PBC得mn0，所以a，即AD4．（12分）25252521．（12分）x2y26已知双曲线C:-=1(a>0，b>0)的焦距为23，离心率e=．a2b22（1）求双曲线C的方程；（）设为双曲线上异于点的两动点，记直线的斜率分别为，若2P,QCM(2a,b)MP,MQk1,k2数学试题第4页（共5页）+=，求证：直线过定点．k1k22k1k2PQc6【解析】（1）由题意知2c=23，=，c2=a2+b2，解得a=2,b=1，a2x2所以双曲线C的方程为-y2=1．（4分）2x2（2）由题意可知直线PQ斜率存在，设其方程为y=kx+m，与-y2=1联立，2得-22--2-=，设，，(12k)x4kmx2m20P(x1,y1)Q(x2,y2)4km-2m2-2则x+x=,xx=，（6分）121-2k2121-2k2y-1y-1y-1y-1由k+k=2kk得1+2=21×2，1212----x12x22x12x22(y-1)(x-2)+(x-2)(y-1)2(y-1)(y-1)即1212=12，----(x12)(x22)(x12)(x22)即+--+-+-=+-+-(kx1m1)(x22)(x12)(kx2m1)2(kx1m1)(kx2m1)，即+-+-+--=2+-+--22kx1x2(m1)(x1x2)2k(x1x2)4(m1)2kx1x22k(m1)(x1x2)2(m1)，4km-2m2-2将x+x=,xx=代入上式并整理得m2+2k+2km-1=0，（9分）121-2k2121-2k2即(m+1)(m-1+2k)=0，故m=-1或m=1-2k．当m=-1时，直线PQ方程为y=kx-1过定点(0,-1)；当m=1-2k时，直线PQ方程为y=k(x-2)+1过点M与题意矛盾．综上，直线过定点-．PQ(0,1)（12分）22．（12分）1已知函数f(x)2lnx．x（1）求函数g(x)f(x)x的零点；（）证明：对于任意的正实数，存在，当时，恒有．2kx00x(x0,)kxf(x)1【解析】（1）由题，g(x)2lnxx，定义域为(0,)，x121因为g(x)1(1)20，所以函数g(x)在区间(0,)上单调递减．（3分）x2xx又g(1)0，故函数g(x)的零点为1．（5分）1（2）由（1）可知x1时，g(x)0，即2lnxx(x1)，x1因此lnx2lnxxx(x1)，进而lnx2lnx2x24x(x1)．xk122k8注意到，当k0时，x等价于x()3，x44x等价于x()4，2xk2k224于是，对于任意的正实数k，取xmax{()3,()4,1}，则当x(x,)时，有0kk0kk11kxxx44x2lnxf(x)，即证．（12分）22xx数学试题第5页（共5页）