2023年河南省五市高三第二次联考数学（文科）参考答案一、选择题：1-6．ADBDCB7-12．BBDCDB二、填空题：13．914．1015．216．[0,1]三、解答题17.解：（1）因为当时，当时，有又n1a11,n23Sn14an11,3Sn4an1,两式相减得则有………………………4分3an4an4an1,an4an1,所以数列是以1为首项、4为公比的等比数列.所以数列的通项为n1……5分ananan4.4n1（2）由（1）知数列a的前n项和S,nn3a4n411n1………………8分bnn1n(n1n)(an2)3(Sn1)(42)(42)34242所以4111111Tbbb[()()()]n12n34024124124224n124n24114().334n294所以数列b的前n项和T.…………………12分nn9160170175185+190170174175180+18618.解（1）由题意得x176,y=177，……2分555xy5xyii1560455176177156045155760285ˆi1b520.5，221554505176155450154880570xi5xi1aˆybˆx1770.517689，所以回归直线方程为y0.5x89，………………………4分令0.5x89x0得x178，即x178时，儿子比父亲高；令0.5x89x0得x178，即x178时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.…………………………6分（）由可得，2y0.5x89y1=0.5160+89169,y2174,y3176.5,y4181.5,y5184高三数学（文科）参考答案第1页（共5页）555555所以yˆi885，又yi885，所以eˆi=yiyˆi=yiyˆi0，………………9分i1i1i1i1i1i1n结论：对任意具有线性相关关系的变量ei0，i1nnnnnˆˆˆˆ证明：eiyiyˆiyibxiaˆyibxinaˆnynbxn(ybx)0.………12分i1i1i1i1i1（注：18题第（2）问若只有最后的证明，同样给满分.）19.（1）如图，连接AC，∵PAPB，APCBPC，PCPC，∴△PAC≌△PBC，∴PCAPCB90，即PCAC．∵PCBC，ACBCC，PC平面ABCD，又AD平面ABCD，PCAD．……………………5分（2）取AB的中点E，连接PE，CE．∵PAPB，∴PEAB，由（1）知ACBC，∴CEAB，∵PECEE，∴AB平面PCE，又AB平面PAB，∴平面PAB平面PCE．………………………8分6过C作CHPE于H，则CH平面PAB，由条件知CH．2易知PCCE，设CEm，则PE3m2，116由PCCEPECH，即3m3m2，得m3，∴CE3．…………10分222∵PDAD，ADPC，PCPDP，∴AD平面PCD，∴ADCD，又∵AB∥CD，∴ADAB，∴四边形AECD为矩形，∴ADCE3．………12分20.解:（1）由题可知，fxex1a当a0时，fx0恒成立，fx单调递增，1x0111x0，且x0，使f(x0)eax0ea()0，所以a0时不符合题意；0aeae当a0时，f(x)ex10，显然成立；………………………2分当a0时，令fx0，解得x1lna，易知x,1lna时，fx单调递减；x1lna,时，fx单调递增．高三数学（文科）参考答案第2页（共5页）若fx0恒成立，则f1lnaaa1lnaalna0，解之得1a0．综上可得a的取值范围为1,0．………………………5分ex（2）由题可知x0，令gmmlnxsinx1，可看成关于m的一次函数，且单调递增．xex当m1时，gmg1，所以若证原不等式成立，即证lnxsinx10，………8分xexex因为exlnx，lnxsinx1exlnxxlnx1xsinx，xx由（1）知ex1x0，xlnx把x换成xlnx1易得exlnx10，………………10分不妨设hxxsinx，hx1cosx0，所以h（x）单调递增，又x>0，故h（x）>h（0）=0，所以exlnxxlnx1xsinx0，即原不等式得证．…12分（注：20题第（2）问亦可由exx1放缩并结合正弦函数有界性证明.）21．解：（1）抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）∴c＝1．262∵由对称性可知P、Q两点关于y轴对称，可设P(,y)代入C1得y3003P在椭圆上，设椭圆下焦点为F(0,-1)则2aPFPF4解得a2,b23y2x2∴椭圆的方程为1.………………………4分43y2x23y2（2）设M(x,y)，则001,x230.004304x24y222联立22，化为，，解得，∴，yx3y16y120y[2,2]yy0[2,)133431设A(x,y)，B(x,y)，对x24y求导，可得yx，11222x21x21∴切线MA,MB的方程分别为：y1x(xx),y2x(xx)，…………6分42114222高三数学（文科）参考答案第3页（共5页）x21x21又M(x,y)满足上述直线方程,即y1x(xx),y2x(xx)，00042101042202可得为方程2的两个不等实数根.∴，，x1,x2t2x0t4y00x1x22x0x1x24y0x2x221yyxxx∴2144210，kABkx2x1x2x142x2xxxxxx∴直线AB的方程为：y121(xx)，化为y21x12，44144x代入可得y0xy，化为xx2y2y0，……………8分2000|x24y|∴点M到直线AB的距离d00,2x04x2|AB|(1k2)[(xx)24xx](10)(4x216y)，12124001113MAB的面积Sd|AB||x24y|x24y(x24y)2，……………10分2200002003y23825x24y304y(y)2004040332又y[2,)，∴当y2时，MAB的面积取得最大值且最大值为82.………12分030x1cos22.（1）∵曲线C的参数方程为（为参数），消去参数可得：(x1)2(y1)21，y1sin∴曲线C的普通方程为(x1)2(y1)21，……………2分又∵直线l的极坐标方程为sin3cos10，且siny,cosx，∴直线l的直角坐标方程为y3x10,综上所述：曲线C的普通方程为x2y22x2y10；高三数学（文科）参考答案第4页（共5页）直线l的直角坐标方程为3xy10.………………5分（2）由（1）可知：直线l的直角坐标方程为3xy10，即直线过点P(0,1)，斜率为3，倾斜1xtπ2角为，则可设直线l的参数方程为（t为参数），33y1t21xt2将代入(x1)2(y1)21整理得：t2231t40，3y1t2设点M,N对应的参数分别为t1,t2，判别式Δ0恒成立，可得：t1t22310,t1t240，即t10,t20，∴PMPNt1t2t1t2231…………………10分23.（1）因为a,b,c为正数，且abc3.2222222据柯西不等式(abc)(111)…(a1b1c1)9，222所以abc…3，当且仅当abc1时，等号成立．…………………5分2111111111（2）据柯西不等式abc…abc9，所以…3，abcabcabc当且仅当abc1时，等号成立．所以m3故m的最大值为3……………………10分（注：23题亦可利用基本不等式证明.）高三数学（文科）参考答案第5页（共5页）