2023.5高三数学模拟考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BCDADBDB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ACABCCDACD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．214.2315.[1e,1)16.16四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．117.【解析】（1）由题意知sin()cos，得sin()133235因为0,，所以,，所以，所以2336326f(x)sinxcosxsinx662所f(x)的单调递增区间为2k,2k,kZ332（2）由fBAD1，得BAD3所以四边形ABCD的面积SSBACSDAC2设BAC，则S2sin4sin27sin27321当sincos时，取到最大值277高三数学第1页共8页18.64【解析】（1）当n1时，5aa160，a，21225当n2时，由5an1Sn160①，得5anSn1160②，①②得5an14an64an14a20,an0,，25an5a24164又,{an}是首项为，公比为的等比数列，a15551644a()n14()n；n555n54（2）由4b(n5)a0，得ba(n5)()n，nnn4n5234n所以44444，Tn432(1)(n5)55555234nn1444444，Tn432(n6)(n5)555555234nn1两式相减得1444444Tn4(n5)5555555n11641n1162554(n5)45155n1n1n116164445(n5)n，555554所以T5n()n1，n54n14n由Tnbn得5n()(n5)()恒成立，55即(n5)4n0恒成立，n5时不等式恒成立；高三数学第2页共8页4n20n5时，4，得1；n5n54n12n5时，4，得4；n5n5所以41.19.过点D做DOAC交AC于O连接OP以O点为原点，以OA为x轴，在平面ABCD内，过点O垂直于AC的线为y轴，过点O垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.(1)因为DOAC，所以POAC，所以DOP为二面角PACD的平面角.所以，又因为3，所以点33DOP|OD||OP|P0,,3244131又因为C,0,0，A,0,0，B,3,0222333所以，AP,,BC1,3,024433APBC33所以cosAP,BC24|AP||BC|939824161633所以AP与BC夹角的余弦值为.8高三数学第3页共8页133(2)PC,,,BC1,3,0244133nPC0xyz0设nx,y,z为平面PBC的一个法向量，则，即244nBC0x3y0令x3，则n3,1,3|APn|23221所以点A到平面PBC的距离为d.|n|7720.【解析】（1）记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件A，则2两人选考物理､化学､生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为C20，C2C2C235数目为的为2，数目为的有2，则204040；2C403C40PA2.C10099（2）由题意可知X的可能取值分别为0,1,2.C2C2C235为时对应概率为（）中所求概率：204040；01PX02C10099为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：C1C1C1C11620404040；PX12C10033C1C116为时，人为，人为：204021113PX22.C10099则分布列如图所示：X012351616P99339935161680故X的期望为EX012；99339999（3）高三数学第4页共8页性别纯理科生非纯理科生总计男性305585女性10515总计4060100零假设为H0：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关.22nadbc100305105525.2293.841abcdacbd40608515所以依据小概率值0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.21.(1)设Ax1,y1,Bx2,y2因为M,N在椭圆外，所以t23.11xy1由题意知，AB的方程为xy1，联立椭圆方程，得tt223x4y12036化简，得(4)y2y90（*）t2t由MAAF，得y1ty1由MBuBF，得y2tuy2ttyy所以u112t12y1y2y1y26yy2由（*）式可得，12ty1y293tyy8所以u2t12.y1y23高三数学第5页共8页36313641211t2t22(2)S2S2|OF||yy|tNABOAB1233244t2t212m令1，所以m1SNABt23m2112m128312S,3因为2，所以，所以NAB2t3m121,3m115.t33mm83所以S的取值范围是,3.522.【解析】（）因为所以，又1f(x)cosx,kcosx|x1f()0所以求f(x)在x处的切线方程为yx.(2)不妨设x1x2令g(x)sin(1x2x2)1sinx2sinx2，x[0,x2]则g(x)1cos(1x2x2)1cosx因为1x2x21x2xx0所以cos(1x2x2)cosxx[0,x]所以g(x)0在2上恒成立.所以g(x)g(x2)0即sin(1x2x2)1sinx2sinx2.n对于任意的，任意的，(3)xi[0,]i0(i1,2,,n)i1i1nn都有sinixiisinxii1i1高三数学第6页共8页证明：①当n2时，由（2）知，命题显然成立.②假设当nk时命题成立.k即对任意的及x1,x2,x3,xk[0,]i0,i1,2,3,,k,i1.i1kk都有sinixiisinxi.i1i1k1现设及，x1,x2,x3,xk,xk1[0,]i0,i1,2,3,,k,k1i1.i1k令i则由归纳假设可知i,i1,2,3,,k,i1.1k1i11x12x2kxksin1x12x2kxkk1xk1sin1k1k1xk11k11k1sin1x12x2kxkk1sinxk11k11sinx12sinx2ksinxkk1sinxk112k1k1sinx1sinx2sinxkk1sinxk11k11k11k112k1k1sinx1sinx2sinxkk1sinxk11k11k11k1k1isinxii1所以当nk1时命题也成立.n综上对于任意的，任意的，且xi[0,]i0(i1,2,,n)i1i1nn都有sinixiisinxii1i1高三数学第7页共8页