海淀区2023年高二年级学业水平调研数学参考答案2023.07一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B（2）C（3）A（4）B（5）D（6）B（7）B（8）B（9）C（10）D二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）e（11）54（12）(−,−1)(0,+)（13）[,−)+2（14）19（15）①③④三、解答题（共4小题，共40分）（16）（共9分）解：（Ⅰ）因为{}an为等差数列，S3=12，(aa+)3所以13=12，即aa+=8．213aa+所以a==134．22因为a4=8，所以d=2．所以an=a2+(n−2)2=4+2n−4=2n．（Ⅱ）选择①③因为{}bn为等比数列，b1b2b3=8，3所以b2=8，即b2=2.因为TT63=9，b(1−−q63)b(1q)所以q1，11=9.11−−qq数学参考答案第1页（共7页）所以19+=q3.所以q=2.nn−−21所以bn=22=2.所以MST=+nnn12−n=+nn+(1)12−=+nn+2−21n.选择①②因为{}bn为等比数列，b1b2b3=8，3所以b2=8，即b2=2.因为TS22=，所以b1+2=2+4，即b1=4.b1所以q==2.b1211所以b=4()n−1=.n22n−3所以14−(1n)=nn(+1)+211−21=nn2++8−.2n−3选择②③因为为等比数列，TT63=9，b(1−−q63)b(1q)所以q1，11=9.11−−qq数学参考答案第2页（共7页）所以19+=q3.所以q=2.因为TS22=，所以b1+=2+24，即b1=4.nn−+11所以bn=4=22.所以MST=+nnn4−(12n)=nn(+1)+12−=+nn+22−24n+.数学参考答案第3页（共7页）（17）（共10分）解：（Ⅰ）记Aii()=1,2表示“第i件产品是一等品”，Bii()=1,2表示“第i件产品是二等品”，C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”，则CA=+BA1221B．13用频率估计概率，PA()i==,1,2，PB()i==,1,2．i2i10PCPAPBPAPB()()()()()=+122113133=+=.21021010（Ⅱ）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3.11111113PX(0)===，PXC(1)===1，22283222811131111PXC(2)===2，PX(3)===.322282228所以X的分布列为012313P88（Ⅲ）225．（18）（共11分）1解：（Ⅰ）当a=2时，f(x)=+2lnx.x12所以fx'()=−+．xx2所以f'(1)=1.因为f(1)=1，所以曲线y=f()x在点(1,f(1))处的切线方程为yx=.1（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.令fx'()=0，得x=．2fx()与fx'()在区间(0,+)上的情况如下：数学参考答案第4页（共7页）111x(0,)(,)+222fx'()−0+fx()↘极小↗11所以fx()的最小值为f()22ln2(1ln=+=−2)0.22所以对x(0,+)，fx()0.所以函数fx()的零点个数为．1−+xa2−x1（Ⅲ）设gxfxxaxx()()ln=−=+−，则gx'()=．xx22①当a2时，−+xax−=10有两个实数根，设为x1，x2.因为x12xa+=0，xx12=10，所以不妨设01xx12.gx()与gx'()在区间(1,+)上的情况如下：(1,x2)x2(,)x2+↗极大↘所以g(x2)=g(1)0，不合题意.−−(x1)2②当a=2时，gx'()=0.x2所以在[1,+)上是减函数.所以g(x)=g(1)0，即f()xx恒成立．综上所述，a的最大值为2．（19）（共10分）解：（Ⅰ）①0,0,0,1；②1,2,3,4,5,6,1.（Ⅱ）由条件知bii=a,i1,2,,n.所以TSnn，等号成立当且仅当bii==a,i1,2,,n.数学参考答案第5页（共7页）所以a1a2ana1.所以a12aa===n.（Ⅲ）由题意，不妨设a1a=aamin,,,12n.若a10，因为Sn=0.所以a12aa====n0.显然Cn取任意实数均满足条件.Tn下面设a10，则CTnnmin,,,aaa12n的充分必要条件是Cn.a1假设max,,,,2aaaajn12nj=.因为，所以aj0.当2jn时，有baba1=1,,,,,,,,22bj−1ababj−1jj+1j+1aj+2bn−1abann=1.所以TSnn−aj+a11=a−aj.当jn=时，有b1=a1,,,,b2a2bn−−1an1bn=a1，仍然有成立.Ta−aa所以n1jj=1−.a1a1a1因为a1+()n−10ajnS=，a1所以j−.an1−1数学参考答案第6页（共7页）TnnTnn所以，取an1=−1，a23aa====n1，就有=.an1−1an1−1n所以C.nn−1n所以C的最大值为.nn−1数学参考答案第7页（共7页）