五年(2019-2023)年高考真题分项汇编专题02函数的基本概念与基本初等函数I考点一函数的值域1.(2019•上海)下列函数中,值域为,的是 A. B. C. D.【解析】,的值域为,故错,的定义域为,,值域也是,,故正确.,的值域为,故错,的值域为,,故错.故选:.2.(2023•上海)已知函数,则函数的值域为 .【解析】当时,,当时,,所以函数的值域为,.故答案为:,.3.(2022•上海)设函数满足对任意,都成立,其值域是,已知对任何满足上述条件的都有,,则的取值范围为 .【解析】法一:令,解得(负值舍去),当时,,当时,,且当时,总存在,使得,故,若,易得,所以,即实数的取值范围为;法二:原命题等价于任意,所以恒成立,即恒成立,又,所以,即实数的取值范围为.故答案为:.考点二函数的图象与图象的变换4.(2021•浙江)已知函数,,则图象为如图的函数可能是 A. B. C. D.【解析】由图可知,图象关于原点对称,则所求函数为奇函数,因为为偶函数,为奇函数,函数为非奇非偶函数,故选项错误;函数为非奇非偶函数,故选项错误;函数,则对恒成立,则函数在上单调递增,故选项错误.故选:.5.(2020•浙江)函数在区间,上的图象可能是 A. B. C. D.【解析】,则,为奇函数,函数图象关于原点对称,故排除,,当时,,故排除,故选:.6.(2019•浙江)在同一直角坐标系中,函数,且的图象可能是 A. B. C. D.【解析】由函数,,当时,可得是递减函数,图象恒过点,函数,是递增函数,图象恒过,;当时,可得是递增函数,图象恒过点,函数,是递减函数,图象恒过,;满足要求的图象为:故选:.考点三.复合函数的单调性7.(2023•新高考Ⅰ)设函数在区间单调递减,则的取值范围是 A., B., C., D.,【解析】设,对称轴为,抛物线开口向上,是的增函数,要使在区间单调递减,则在区间单调递减,即,即,故实数的取值范围是,.故选:.8.(2020•海南)已知函数在上单调递增,则的取值范围是 A. B., C. D.,【解析】由,得或.令,外层函数是其定义域内的增函数,要使函数在上单调递增,则需内层函数在上单调递增且恒大于0,则,,,即.的取值范围是,.故选:.考点四函数的最值及其几何意义9.(2021•新高考Ⅰ)函数的最小值为 .【解析】法一、函数的定义域为.当时,,此时函数在,上为减函数,当时,,则,当,时,,单调递减,当时,,单调递增,在上是连续函数,当时,单调递减,当时,单调递增.当时取得最小值为(1).故答案为:1.法二、令,,分别作出两函数的图象如图:由图可知,(1),则数的最小值为1.故答案为:1.10.(2019•浙江)已知,函数.若存在,使得,则实数的最大值是 .【解析】存在,使得,即有,化为,可得,即,由,可得,可得的最大值为.故答案为:.考点五函数奇偶性的性质与判断11.(2023•新高考Ⅱ)若为偶函数,则 A. B.0 C. D.1【解析】由,得或,由是偶函数,,得,即,,得,得.故选:.12.(2021•上海)以下哪个函数既是奇函数,又是减函数 A. B. C. D.【解析】在上单调递减且为奇函数,符合题意;因为在上是增函数,不符合题意;,为非奇非偶函数,不符合题意;故选:.13.(2019•上海)已知,函数,存在常数,使为偶函数,则的值可能为 A. B. C. D.【解析】由于函数,存在常数,为偶函数,则:,由于函数为偶函数,故:,所以:,当时.故选:.14.(2021•新高考Ⅱ)写出一个同时具有下列性质①②③的函数 .①;②当时,;③是奇函数.【解析】时,;当时,;是奇函数.故答案为:.另解:幂函数即可满足条件①和②;偶函数即可满足条件③,综上所述,取即可.15.(2021•新高考Ⅰ)已知函数是偶函数,则 .【解析】函数是偶函数,为上的奇函数,故也为上的奇函数,所以,所以.法二:因为函数是偶函数,所以,即,即,即,所以.故答案为:1.16.(2023•上海)已知,,函数.(1)若,求函数的定义域,并判断是否存在使得是奇函数,说明理由;(2)若函数过点,且函数与轴负半轴有两个不同交点,求此时的值和的取值范围.【解析】(1)若,则,要使函数有意义,则,即的定义域为,是奇函数,是偶函数,函数为非奇非偶函数,不可能是奇函数,故不存在实数,使得是奇函数.(2)若函数过点,则(1),得,得,此时,若数与轴负半轴有两个不同交点,即,得,当时,有两个不同的交点,设,则,得,得,即,若即是方程的根,则,即,得或,则实数的取值范围是且且,即,,.考点六奇偶性与单调性的综合17.(2021•新高考Ⅱ)已知函数的定义域为不恒为,为偶函数,为奇函数,则 A. B. C.(2) D.(4)【解析】函数为偶函数,,为奇函数,,用替换上式中,得,,,即,故函数是以4为周期的周期函数,为奇函数,,即,用替换上式中,可得,,关于对称,又(1),(1).故选:.18.(2020•海南)若定义在的奇函数在单调递减,且(2),则满足的的取值范围是 A.,,B.,,C.,, D.,,【解析】定义在的奇函数在单调递减,且(2),的大致图象如图:在上单调递减,且;故;当时,不等式成立,当时,不等式成立,当或时,即或时,不等式成立,当时,不等式等价为,此时,此时,当时,不等式等价为,即,得,综上或,即实数的取值范围是,,,故选:.考点七分段函数的应用19.(2022•上海)若函数,为奇函数,求参数的值为 .【解析】函数,为奇函数,,(1),,即,求得或.当时,,不是奇函数,故;当时,,是奇函数,故满足条件,综上,,故答案为:1.20.(2022•浙江)已知函数则 ;若当,时,,则的最大值是 .【解析】函数,,;作出函数的图象如图:由图可知,若当,时,,则的最大值是.故答案为:;.考点八抽象函数及其应用21.(2022•新高考Ⅱ)已知函数的定义域为,且,(1),则 A. B. C.0 D.1【解析】令,则,即,,,,则,的周期为6,令,得(1)(1)(1),解得,又,(2)(1),(3)(2)(1),(4)(3)(2),(5)(4)(3),(6)(5)(4),,(1)(2)(3)(4).故选:.22.【多选】(2023•新高考Ⅰ)已知函数的定义域为,,则 A. B.(1) C.是偶函数 D.为的极小值点【解析】由,取,可得,故正确;取,可得(1)(1),即(1),故正确;取,得(1),即(1),取,得,可得是偶函数,故正确;由上可知,(1),而函数解析式不确定,不妨取,满足,常数函数无极值,故错误.故选:.23.(2020•上海)已知非空集合,函数的定义域为,若对任意且,不等式恒成立,则称函数具有性质.(1)当,判断、是否具有性质;(2)当,,,,若具有性质,求的取值范围;(3)当,,,若为整数集且具有性质的函数均为常值函数,求所有符合条件的的值.【解析】(1)为减函数,,具有性质;为增函数,,不具有性质;(2)依题意,对任意,恒成立,为增函数(不可能为常值函数),由双勾函数的图象及性质可得,当时,函数单调递增,满足对任意,恒成立,综上,实数的取值范围为,.(3)为整数集,具有性质的函数均为常值函数,当时,取单调递减函数,两个不等式恒成立,但不为常值函数;当为正偶数时,取,两个不等式恒成立,但不为常值函数;当为正奇数时,根据对任意且,不等式恒成立,可得,则,所以为常值函数,综上,为正奇数.考点九函数的周期性24.(2019•上海)已知函数周期为1,且当时,,则 .【解析】因为函数周期为1,所以,因为当时,,所以,故答案为:.考点十函数恒成立问题25.(2021•上海)已知,,若对任意的,,则有定义:是在关联的.(1)判断和证明是否在,关联?是否有,关联?(2)若是在关联的,在,时,,求解不等式:.(3)证明:是关联的,且是在,关联的,当且仅当“在,是关联的”.【解析】(1)在,关联,在,不关联,任取,,则,,在,关联;取,,则,,,,在,不关联;(2)在关联,对于任意,都有,对任意,都有,由,时,,得在,的值域为,,在,的值域为,,仅在,或,上有解,,时,,令,解得,,时,,令,解得,不等式的解为,,(3)证明:①先证明:是在关联的,且是在,关联的在,是关联的,由已知条件可得,,,,又是在,关联的,任意,成立,若,,,即,,是,关联,②再证明:在,是关联的是在关联的,且是在,关联的,在,是关联的,任取,,都有,成立,即满足,都有,下面用反证法证明,若,则,与在,是关联的矛盾,若,而在,是关联的,则,矛盾,成立,即是在关联的,再证明是在,关联的,任取,,则存在,使得任取,,,,,,,,是在,关联的;综上所述,是关联的,且是在,关联的,当且仅当“在,是关联的”,故得证.考点十一对数的运算性质26.(2022•浙江)已知,,则 A.25 B.5 C. D.【解析】由,,可得,则,故选:.考点十二对数值大小的比较27.(2022•新高考Ⅰ)设,,,则 A. B. C. D.【解析】构造函数,,则,,当时,,时,,单调递减;时,,单调递增,在处取最小值(1),,且,,,;,,,;设,则,令,,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,,当时,,当时,,单调递增,,,,.故选:.28.(2021•新高考Ⅱ)已知,,,则下列判断正确的是 A. B. C. D.【解析】,,.故选:.考点十三反函数29.(2021•上海)已知,则(1) .【解析】因为,令,即,解得,故(1).故答案为:.30.(2020•上海)已知函数,是的反函数,则 .【解析】由,得,把与互换,可得的反函数为.故答案为:.考点十四函数与方程的综合运用31.(2019•浙江)设,,函数若函数恰有3个零点,则 A., B., C., D.,【解析】当时,,得;最多一个零点;当时,,,当,即时,,在,上递增,最多一个零点.不合题意;当,即时,令得,函数递增,令得,,函数递减;函数最多有2个零点;根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点,在,上有2个零点,如右图:且,解得,,.,故选:.32.(2019•上海)已知,与轴交点为,若对于图象上任意一点,在其图象上总存在另一点、异于,满足,且,则 .【解析】由题意,可知:令,解得:,点的坐标为:,.则.大致图象如下:由题意,很明显、两点分别在两个分段曲线上,不妨设点在左边曲线上,点在右边曲线上.设直线的斜率为,则.联立方程:,整理,得:..,.再将代入第一个方程,可得:.点的坐标为:,..,直线的斜率为,则.同理类似求点的坐标的过程,可得:点的坐标为:.,及的任意性,可知:,解得:.故答案为:.33.(2019•上海)已知,.(1)当时,求不等式的解集;(2)若在,时有零点,求的取值范围.【解析】(1).当时,.所以:转换为:,即:,解得:.故:.(2)函数在,时,有零点,即函数在该区间上有解,即:,即求函数在,上的值域,由于:在,上单调递减,故:,,所以:,故:考点十五根据实际问题选择函数类型34.(2020•山东)基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数随时间(单位:天)的变化规律,指数增长率与,近似满足.有学者基于已有数据估计出,.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为 A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天【解析】把,代入,可得,,当时,,则,两边取对数得,解得.故选:.35.【多选】(2023•新高考Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级,其中常数是听觉下限阈值,是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、
专题02 函数的基本概念与基本初等函数I(解析版)
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