高2024届高考诊断考试（一）数学试题（试卷满分：150分120分钟完卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B. C. D.3.已知，则（）A B. C. D.4.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己计数方法．十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（）A. B. C. D.5.若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为（）A. B. C.2 D.36.如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（）A. B.3 C. D.487.椭圆的左右焦点为，，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，，若四边形的周长等于，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.8.已知偶函数满足，，且当时，.若关于的不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9.已知函数，则（）A. B.的最小正周期为C.在上单调递减 D.在上单调递增10.某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：学校人数平均运动时间方差甲校2000103乙校300082记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（）A. B.C. D.11.如图，平行六面体中，，，与交于点O，则下列说法正确的有（）A.平面平面B.若，则平行六面体的体积C.D.若，则12.已知函数，下列选项正确的是（）A.有最大值BC.若时，恒成立，则D.设为两个不相等的正数，且，则三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.展开式中的各二项式系数之和为256，则的系数是_______14.现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为__________.15.已知等比数列满足：，.数列满足，其前项和为，若恒成立，则的最小值为______.16.已知抛物线上存在两点（异于坐标原点），使得，直线AB与x轴交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小值为________．四、解答题（共6小题，共70分）17.在中，角所对的边分别为，．（1）求角；（2）若的面积为，且，求的周长．18.已知数列的首项，且满足.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前项和.19.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．附参考数据：若，则①；②；③．20.如图所示，三棱锥中，已知平面，平面平面．（1）证明：平面；（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．21.在平面直角坐标系中，已知点、，内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接.若直线的斜率与直线的斜率之和为0，试比较与的大小.22.已知函数．（1）当时，（I）求处的切线方程；（II）判断的单调性，并给出证明；（2）若恒成立，求的取值范围．公众号：高中试卷君